Sistema de Partículas

Centro de masa

El centro de masa es el punto en el que se supone se concentra toda la masa de un sistema de partículas o de un objeto extendido para facilitar el estudio de su movimiento.

Posición, velocidad y aceleración del centro de masas

La posición del centro de masa para un sistema de partículas distribuido en tres dimensiones es

${\overrightarrow{r}}_{CM}=x_{CM}\hat{i}+y_{CM}\hat{j}+z_{CM}\hat{k}=\frac{1}{M}\sum m_i{\overrightarrow{r}}_i$

donde $M$ es la suma de la masa de cada una de las partículas que constituyen el sistema.

Las componentes de la posición del centro de masa para un sistema de partículas son:

$x_{CM}=\frac{1}{M}\sum m_i{x}_i$

$y_{CM}=\frac{1}{M}\sum m_i{y}_i$

$z_{CM}=\frac{1}{M}\sum m_i{z}_i$

La posición del centro de masa para un objeto extendido en tres dimensiones es:

${\overrightarrow{r}}_{CM}=x_{CM}\hat{i}+y_{CM}\hat{j}+z_{CM}\hat{k}=\frac{1}{M}\int \overrightarrow{r}dm$

donde $M$ es la suma de la masa de todo el objeto.

Las componentes de la posición del centro de masa para un objeto extendido son:

$x_{CM}=\frac{1}{M}\int xdm$

$y_{CM}=\frac{1}{M}\int ydm$

$z_{CM}=\frac{1}{M}\int zdm$

• Velocidad del centro de masa

La velocidad del centro de masa para un sistema de partículas distribuido en tres dimensiones se obtiene mediante la derivación de la posición de dicho sistema

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\frac{d{\overrightarrow{r}}_{CM}}{dt}=\frac{1}{M}\sum _i{m}_i{\overrightarrow{v}}_i$

• Aceleración del centro de masa

La aceleración del centro de masa para un sistema de partículas distribuido en tres dimensiones se obtiene mediante la derivación de la velocidad de dicho sistema

${\overrightarrow{a}}_{CM}=\frac{d{\overrightarrow{v}}_{CM}}{dt}=\frac{1}{M}\sum _i{m}_i{\overrightarrow{a}}_i$

Momento lineal de un sistema de partículas

El momento lineal de un sistema de partículas es la sumatoria del momento lineal de cada una de las partículas que conforman el sistema

$M{\overrightarrow{v}}_{CM}=\sum _i{m}_i{\overrightarrow{v}}_i=\sum _i{\overrightarrow{p}}_i={\overrightarrow{p}}_{total}$

Conservación del movimiento lineal

$M{\overrightarrow{a}}_{CM}=\sum {\overrightarrow{F}}_{ext}\Rightarrow \int \sum {\overrightarrow{F}}_{ext}dt=M\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{v}}_{CM}$

El movimiento lineal se conserva, es decir, es constante, cuando $\sum {\overrightarrow{F}}_{ext}=0$

Impulso y cantidad de movimiento

La relación entre el impulso y la cantidad de movimiento de un sistema de partículas se describe mediante

$\overrightarrow{I}=\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_{total}$

Colisiones en una dimensión

Una colisión elástica entre dos objetos es aquella en la que la energía cinética y la cantidad de movimiento del sistema es la misma antes y después de la colisión.

Una colisión perfectamente inelástica es aquella en la que la energía cinética total del sistema no es la misma antes y después de la colisión, pero la cantidad de movimiento del sistema se conserva.

• Colisión elástica

Una colisión elástica conserva la cantidad de movimiento y la energía cinética, por lo tanto, si se consideran dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$, que se mueven con velocidades iniciales ${\overrightarrow{V}}_{1i}$ y ${\overrightarrow{V}}_{2i}$, que chocan y luego se alejan con velocidades ${\overrightarrow{V}}_{1f}$ y ${\overrightarrow{V}}_{2f}$

$m_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}=m_1{v}_{1f}+m_2{v}_{2f}$

$\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1i}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2i}^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1f}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2f}^2$

$v_{1f}=(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2})v_{1i}+(\frac{2m_2}{m_1+m_2})v_{2i}$

$v_{2f}=(\frac{2m_1}{m_1+m_2})v_{1i}+(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2})v_{2i}$

• Colisión perfectamente inelástica

Una colisión perfectamente inelástica conserva la cantidad de movimiento, por lo tanto, si se colisionan dos masas $m_1$ y $m_2$ que se mueven con velocidades iniciales ${\overrightarrow{V}}_{1i}$ y ${\overrightarrow{V}}_{2i}$, estas quedan unidas y se moverán con alguna velocidad final ${\overrightarrow{V}}_f$ dada por:

$m_1{\overrightarrow{V}}_{1i}+m_2{\overrightarrow{V}}_{2i}=(m_1+m_2){\overrightarrow{V}}_f$

Colisiones en dos dimensiones

Para cualquier colisión de dos partículas en dos dimensiones, por ejemplo, en un plano, la cantidad de movimiento en cada una de las direcciones x e y se conserva. Las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento son:

componente x: $m_1{v}_{1ix}+m_2{v}_{2ix}=m_1{v}_{1fx}+m_2{v}_{2fx}$

componente y: $m_1{v}_{1iy}+m_2{v}_{2iy}=m_1{v}_{1fy}+m_2{v}_{2fy}$

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 3: Sistema de partículas