Oscilaciones amortiguadas y forzadas

Oscilaciones amortiguadas

Las oscilaciones cotidianas ocurren bajo fuerzas no conservativas como la fricción, las cuales hacen que la energía mecánica disminuya a medida que transcurre el tiempo, causando una disminución o amortiguamiento del movimiento.

Entonces en este movimiento es posible caracterizarlo por dos fuerzas: una fuerza restauradora y una amortiguadora.

Generalmente la fuerza retardadora (amortiguadora) es proporcional a la rapidez del objeto en movimiento y actúa en dirección opuesta a la velocidad del objeto respecto al medio en el que este se encuentra embebido, y es de la forma

$\overrightarrow{R}=-b\overrightarrow{v}$,

donde $b$ es tratado como la constante de proporcionalidad y se le conoce como coeficiente de amortiguamiento.

La segunda ley de Newton que caracteriza este movimiento es escrita como

$-kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$.

La solución de esta ecuación diferencial de segundo orden lineal es

$x=A{e}^{-\frac{b}{2m}t}\cos (wt+\varphi )$.

La frecuencia angular de un oscilador amortiguado se escribe como

$w=\sqrt{w_0^2-{\left(\frac{b}{2m}\right)}^2}$

donde $w_0$ es la frecuencia angular natural, es decir la frecuencia propia del sistema en ausencia de la fuerza amortiguadora.

Cuando la fuerza retardadora es pequeña, es decir cuando $\frac{b}{2m}<w_0$, se conserva el carácter oscilatorio pero la amplitud disminuye con el tiempo hasta detenerse. A ese movimiento se le conoce como subamortiguado.

Cuando $\frac{b}{2m}=w_0$, el sistema no oscila. Una vez se suelta del reposo, el sistema se aproxima a su posición de equilibrio, pero no pasa por ella. A ese movimiento se le conoce como críticamente amortiguado.

Cuando $\frac{b}{2m}>w_0$, el sistema se aproxima a su posición de equilibrio, empleando más tiempo. A ese movimiento se le conoce como sobreamortiguado.

Oscilaciones forzadas

En este tipo de movimiento participa una ????? Es posible compensar la disminución de energía debida a la fuerza $-b(dx/dt)$ aplicando una fuerza externa que haga actúe en la dirección del movimiento, lo que implicaría que la fuerza está haciendo un trabajo positivo sobre el oscilador.

Considerando una fuerza externa de la forma, la que permite que el oscilador continúe en este tipo de movimiento

$F(t)=F_0\sin (wt)$,

es posible escribir la segunda ley de Newton de la forma

$F_0\sin (wt)-b\frac{dx}{dt}-kx=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$.

La solución a la ecuación anterior es de la forma

$x=A\cos (wt+\varphi )$,

donde la amplitud es

$A=\frac{F_0/m}{\sqrt{{(w^2-w_0^2)}^2+{\left(\frac{bw}{m}\right)}^2}}$

donde $w_0$ es la frecuencia natural del oscilador.

Este sistema es un sistema no aislado, el trabajo realizado por la fuerza impulsora, hace que la energía del objeto se incremente con las energías cinético-traslacionales y la energía potencial del resorte.

Resonancia

Se puede observar que la amplitud es muy grande cuando $w\approx w_0$ . A esto se le conoce como resonancia. Y a la frecuencia natural    $w_0$  , se le conoce como frecuencia de resonancia.

Esto ocurre porque la transferencia de energía al sistema ocurre bajo las condiciones más favorables. Esto se puede explicar derivando la ecuación de posición, obteniendo $v=wA\sin (wt+\varphi )$

Como es la misma función trigonométrica de la fuerza, entonces se dice que están en fase.

La rapidez a la que la fuerza realiza trabajo sobre el oscilador es  $F\cdot v$  , que se conoce como potencia entregada y es máxima cuando las dos cantidades están en fase.

Entonces en resonancia la fuerza aplicada está en fase con la velocidad y la potencia transferida al oscilador es máxima.

De la fórmula de amplitud, podemos ver que cuando el amortiguamiento

es poco,   $b=0$       , y $w\approx w_0$ , la amplitud toma valores muy grandes.

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 3: Oscilaciones amortiguadas y forzadas