Ondas Transversales: Cuerdas

Velocidad de la onda

La rapidez es observada en las ondas transversales, y se encuentra ligada a la tensión de la cuerda de una onda $T$ y la masa por unidad de longitud, también llamada densidad de masa lineal y representada por el símbolo $\mu$.

Al aumentar la tensión, la fuerza de restitución de las partículas de la cuerda es mayor, por lo que la velocidad de propagación de la onda aumentará. Al aumentar la densidad lineal se observa que el movimiento tendrá una rapidez menor.

De lo anterior se puede concluir que la velocidad aumenta cuando la tensión aumenta y/o cuando la densidad de masa lineal disminuye. La velocidad de una onda en una cuerda está dada por la siguiente expresión

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$.

Energía y potencia transportada

El movimiento ondulatorio posee características como energía, además de una fuerza para producir los movimientos ondulatorios, y claramente, al aplicarse tal fuerza producirá un trabajo sobre el sistema de estudio. Por lo que, esta propagación se realiza en la cuerda, y por cada sección de ésta, existen trabajos y fuerzas realizadas sobre las porciones de cuerda adyacentes.

La potencia es la razón a la que es transferida energía por la cuerda, depende de la posición  $x$  en la cuerda y del tiempo $t$, se describe matemáticamente de la siguiente forma

$P(x,t)=F_y(x,t)v_y=-F\frac{{\partial }_y(x,t)}{\partial x}\frac{{\partial }_y(x,t)}{\partial t}$

La anterior ecuación se puede aplicar a cualquier tipo de onda en una cuerda.

Por ejemplo, para el caso de una onda senoidal de la forma

$y(x,t)=Acos(kx-\omega t)$,

así, las derivadas temporales y espaciales quedan como

$\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}=-kAsen(kx-\omega t)$, y $\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}=\omega Asen(kx-\omega t)$.

Reemplazando los resultados anteriores en la ecuación de la potencia, se obtiene

$P(x,t)=Fk\omega A^{2}se{n}^2(kx-\omega t)$,

y usando $\omega =vk$ y $v^2=\frac{F}{\mu }$, se reescribe la potencia de la siguiente forma

$P(x,t)=\sqrt{\mu F}{\omega }^2{A}^{2}se{n}^2(kx-\omega t)$.

Como la función $se{n}^2(\theta )$ nunca mapea a valores negativos, entonces la potencia siempre es positiva o cero.

El valor máximo de la potencia es cuando la función $se{n}^2(\theta )$ vale la unidad, entonces, la potencia máxima es

$P_{max}(x,t)=\sqrt{\mu F}{\omega }^2{A}^2$.

Para obtener la potencia media, debemos saber que que el promedio de la constante $\sqrt{\mu F}{\omega }^2{A}^2$, es la misma constante y el promedio de $se{n}^2(\theta )$ es $1/2$. Por lo que la potencia promedio es

$P_{med}=\frac{1}{2}\sqrt{\mu F}{\omega }^2{A}^2$.

Principio de superposición, interferencia espacial y temporal

Representación de 2 ondas que viajan en direcciones contrarias e invertidas.

Representación de 2 ondas que viajan en direcciones contrarias con la misma forma.

Cuando una onda choca con las fronteras de su medio, se refleja parcial o totalmente.  Cuando la onda se refleja y se encuentra con la onda original se genera interferencia.

La interferencia se da cuando dos ondas pasan por la misma región al mismo tiempo.

Cuando dos ondas que viajan en direcciones contrarias e invertidas se encuentran en un punto, estas continúan su trayectoria y el punto central se desplaza.

Cuando dos ondas que viajan en direcciones contrarias con la misma forma se encuentran en un punto, continúan su trayectoria. El punto central se desplaza.

Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de la cuerda en cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento de ese punto si solo estuviera la primera onda con el desplazamiento de ese punto como si solo estuviera la segunda onda.

$y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)$

Ondas estacionarias en cuerdas

Representación de nodos y antinodos

Cuerda de longitud L sujeta de sus dos extremos.

Longitud de una onda

Primer modo normal de vibración de una cuerda

Segundo modo normal de vibración de una cuerda

Tercer modo normal de vibración de una cuerda

Las ondas estacionarias son el resultado de la superposición de dos ondas que viajan en sentidos contrarios con la misma velocidad. Al sumar las ecuaciones de onda de cada una obtenemos la ecuación para una onda estacionaria.

$y=2A\sin (kx)\cos (wt)$

Una onda estacionaria tiene un patrón de oscilación con contorno estacionario.

Note que ahora la expresión para la amplitud dada por

$A_{estacionaria}=2A\sin (kx)$

Y esta nueva amplitud depende de la posición  $x$ del elemento del medio.

La amplitud del movimiento de un elemento es mínima cuando $x$ satisface que  $\sin (kx)=0$, es decir, cuando $kx=0,\pi ,2\pi ,...$

Ya que $k=\frac{2\pi }{\lambda }$, los valores que  $x$ puede tomar son

$x=0,\frac{\lambda }{2},\lambda ,\frac{3\lambda }{2},...$

Estos puntos en los que la amplitud es cero se llaman nodos.

Los puntos en los que se presenta la amplitud máxima se denominan antinodos.

Los valores de  $x$ para los antinodos son $x=\frac{\lambda }{4},\frac{3\lambda }{4},\frac{5\lambda }{4},...$

La distancia entre dos nodos consecutivos es $\lambda /2$

La distancia entre dos antinodos consecutivos es $\lambda /2$

La distancia entre un nodo y un antinodo adyacente es $\lambda /4$

Suponga una cuerda de longitud $L$ está sujeta por ambos extremos, en donde se pueden generar ondas estacionarias. Ya que sus extremos están fijos, el desplazamiento allí será cero, por lo tanto, son nodos. Esto hace que la onda en la cuerda esté bajo condiciones frontera y que esta tenga modos normales de vibración.

El primer modo de vibración para la cuerda se llama modo fundamental.

Para analizar los modos normales de vibración de una cuerda bajo condiciones frontera, debe tener claro el concepto de longitud de una onda  $\lambda$.

Primer modo: La longitud de la cuerda equivale a media longitud de onda. $L=\frac{\lambda }{2}$ , entonces $\lambda =2L$.

La frecuencia está dada por $f=\frac{v}{\lambda }$. Entonces para este modo $f=\frac{v}{2L}$

Segundo modo: $L=\lambda$ y $f=\frac{v}{L}$

Tercer modo: $L=\frac{3\lambda }{2}$ entonces $\lambda =\frac{2L}{3}$ y la frecuencia es $f=\frac{3v}{2L}$

Podemos encontrar un patrón de secuencia en la frecuencia de estas ondas y es $f=n\frac{v}{2L}$

donde $n$es el modo de vibración y coincide con el número de antinodos.

Para cuerdas sujetas por un extremo se realiza un análisis similar y se obtiene que

$\lambda =\frac{4L}{m}$ y $f=m\frac{v}{4L}$

donde $m=(2n-1)$  y $n$ es el modo de vibración que en este caso también coincide con el número de antinodos.

Propiedades generales de las ondas: Reflexión y transmisión de ondas

Pulso de una cuerda con un extremo fijo

Pulso de una cuerda con un extremo móvil

Tipos de pulso generados en una cuerda

Cuando la onda en una cuerda llega al extremo fijo, este ejerce una fuerza y crea una onda  reflejada invertida que viaja en dirección opuesta.

Cuando el extremo es móvil, este se mueve con la cuerda y crea una onda reflejada no invertida en dirección opuesta.

Si la frontera de la cuerda por la que viaja el pulso incidente es intermedia a los dos casos anteriores ocurre que parte de la energía del pulso se refleja y otra parte se transmite. Es decir, parte de la energía pasa a través de la frontera. Suponga dos cuerdas unidas, una más ligera que otra, cuando el pulso incidente viaja por la cuerda ligera y llega a la frontera, el pulso transmitido continúa y el reflejado se invierte. Cuando el pulso incidente viaja por la cuerda menos ligera, el pulso transmitido continúa y el pulso reflejado se devuelve sin ser invertido.

Velocidad de grupo y velocidad de fase

Representación de velocidad de fase y velocidad de grupo

La velocidad de fase es la rapidez con la cual la onda cambia de fase, la velocidad de una fase de onda, por ejemplo, su cresta. La velocidad de grupo es la rapidez a la que se propaga la onda, la velocidad de la onda envolvente de un grupo de ondas, por ejemplo, de un pulso.

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 2: Ondas transversales: Cuerdas