Matemáticas para educación media en Chile/Conjuntos numéricos

Unidad I: Números y proporcionalidad Lección 1: Conjuntos númericos

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Conjuntos numéricos

Números naturales

Los números naturales nos permiten contar los botones de la imagen.

Conjunto designado con la letra $\mathbb{N}$ que surgió de la necesidad de contar:

Características:

• Posee infinitos elementos.
• El primer elemento es el número 1.
• Cada número natural tiene un sucesor dentro del mismo conjunto:

• $n+1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

• Cada número natural posee un antecesor dentro del mismo conjunto:

• $n-1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n=1$
• Excepto el número 1 ya que: $1-1=0,0\in ̸\mathbb{N}$

Sub-conjuntos:

• Números pares representados como $2n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
  • Plantilla:Teorema
• Números impares representados como $2n-1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
  • Plantilla:Teorema
• Números primos son aquellos divisibles por sí mismo y el uno, excepto este último.
  • Plantilla:Teorema

Operaciones:

• Adición entre sus propiedades encontramos:

• Clausura $(a+b)\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$
• Conmutatividad $(a+b)=(b+a),\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$
• Asociatividad $a+(b+c)=(a+b)+c,\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N}$

• Sustración: en el conjunto de números naturales la resta no siempre es cerrada

Ejemplo:

$3-4=-1,-1\in ̸\mathbb{N}$

Por ello para que la sustración exista en éste conjunto debe estar definida como:

$a-b\in \mathbb{N}\iff a>b,\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$

• Multiplicación entre sus propiedades encontramos

• Clausura $(a\cdot b)\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$
• Conmutatividad $(a\cdot b)=(b\cdot a),\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$

• Asociatividad $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c,\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N}$
• Neutro multiplicativo es el 1: $a\cdot 1=a,\mathrm{\forall }a\in \mathbb{N}$

• División para que la división de números naturales exista el dividendo debe ser divisible por el divisor, definiéndola como:

$(a:b)\in \mathbb{N}\iff a$ es divisible por $b,\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$

Números cardinales

El conjunto de números cardinales surgé de la unión de los números naturales y el cero ${\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \left\{0\right\}$ Plantilla:Teorema

Características posee las mismas características que el conjunto de los naturales salvo:

• El primer elemento es el número 0.
• El número 1 sí tiene antecesor o sea el 0 , sin embargo éste no tiene puesto que

$0-1=-1,-1\in ̸{\mathbb{N}}_0$

Operaciones:

• Adición, se cumplen las mismas propiedades del conjunto de números naturales, pero se agrega :

• Neutro aditivo el 0 $a+0=a,\mathrm{\forall }a\in {\mathbb{N}}_0$

• Sustración, en los cardinales la resta está determinada por:

$a-b\in {\mathbb{N}}_0\iff a\ge b,\mathrm{\forall }a,b\in {\mathbb{N}}_0$

• Multiplicación se añade:

• Elemento absorbente el 0

$a\cdot 0=0,\mathrm{\forall }a\in {\mathbb{N}}_0$

• División, para que ésta se defina el divisor debe ser distinto de cero, luego:

$(a:b)\in {\mathbb{N}}_0\iff a$ es divisible por $b,\mathrm{\forall }a,b\in {\mathbb{N}}_0,\wedge b=0$

Números irracionales

Son todos aquellos números que no se puedes escribir como fracción, se puede designar al conjunto con el símbolo ${\mathbb{Q}}^{*}$ o $𝕀$.

Entre los números irracionales más famosos están: $\pi ,e,\varphi ,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$

Números reales

Los números reales corresponde a la unión de todos los conjuntos anteriores. Se usa la letra $ℝ$ para representar al conjunto.

Referencias

• Apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria Matemática 2008–2009 Pamela Paredes Núñez y Manuel Ramírez Panatt, Estudiantes de Licenciatura en Ciencias Exactas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

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