Matemáticas discretas/Bases

Teorema fundamental de la numeración

Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:

$N$, número válido en el sistema de numeración.

$b$, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.

$d_i$, un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.

$n$,: número de dígitos de la parte entera.

La fórmula general para construir un número N, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente: Plantilla:Ecuación El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.

De Wikipedia, la enciclopedia libre, con modificaciones para simplificar el teorema.

Conclusiones

Elegida una base $b$ y un número $N$, existen únicos $d_0\dots d_k$ tales que:
$N=\sum _{i=0}^k{d}_i{b}^i=d_{n-1}{b}^{n-1}+\dots +d_0{b}^0$

Se usa la notación siguiente (se indica la base $b$ como subíndice de los coeficientes $d_i$) para representar a $N$ en base $b$:
$N={(d_k\cdots d_1{d}_0)}_b$
(los paréntesis son opcionales).

Convertir números de una base a otra

Convertir desde base 10

Siendo $B$ la base a la cual queremos pasar nuestro número en base 10:
La técnica consiste en dividir al número sucesivas veces entre $B$ usando la división natural.
Luego de haber dividido el número, se aplica nuevamente la división sobre el cociente resultante.
Cada uno de los restos que van siendo obtenidos, corresponden a los coeficientes de la representación en base $B$.
El proceso termina cuando se obtiene el cociente 0. Siendo el resto de esa división el último resto obtenido, para escribir el número en base $B$.

La manera de asignar los restos obtenidos a los coeficientes del número en base $B$ es, el primer resto es el primer coeficiente de la derecha, y así sucesivamente, siendo el último resto el coeficiente de más a la izquierda.

Ejemplo

Convertir el número 342 en base 10, a base 8.
Procedemos a dividir 342 entre 8 usando división natural, y sucesivamente hasta que la division de como cociente el número 0.
$342/8=42(\text{resto 6})$
$42/8=5(\text{resto 2})$
$5/8=0(\text{resto 5})$
El número en base 8 se forma usando el primer resto obtenido como su primera cifra (la de más a la derecha) y sucesivamente hasta el último resto obtenido como su última cifra.
De esta manera resulta: ${342}_{10}={526}_8$

Convertir hacia base 10

Se debe usar las cifras del número en la base $b$, para pasarlo a base 10 usando el Teorema fundamental de la numeración.
Consideramos $d_{n-1}\dots d_1{d}_0$ el número en base $b$ y obtendremos su equivalente $N$ en base 10 de la siguiente manera:
$N=d_{n-1}{b}^{n-1}+\dots +d_1{b}^1+d_0{b}^0$

Ejemplo

Convertir el número 315 en base 7 a base 10.
$N$ va ser el número equivalente en base 10.
$N=3\cdot 7^2+1\cdot 7^1+5\cdot 7^0=147+7+5=159$
De esta manera resulta: ${315}_7={159}_{10}$

Convertir entre cualquier base

En general, para convertir de una base a otra cualquiera se debe realizar la conversión a base 10 y de base 10 a la otra base, aplicando los metodos explicados arriba.
Pero si queremos convertir desde la base $B$ a la base $C$ y $C$ es potencia de $B$ tal que $B^k=C$, entonces existe un método para evitar la "doble conversión" mencionada a modo general.
Dicho método consiste en, agrupar de a $k$ grupos, las cifras de $B$. Se hace comenzando desde la derecha y si quedan menos de $k$ cifras al final, se agregan la cantidad de $0$ (ceros) necesarios para completar el grupo de $k$ elementos final.
A cada uno de estos grupos, se los considera como un número en base $B$ y se lo convierte a base 10.
Luego de haber convertido estos grupos, el número resultante de juntar los números obtenidos en la conversión de cada grupo (manteniendo el mismo orden), es el número en base $C$.

Ejemplo

Convertir de base 2 a base 8 el número 101011.
Dado que $2^3=8$, puedo agrupar de a 3 las cifras de 101011 quedandome el grupo 101 y 011.
101 de base 2 a base 10, queda 5 ($1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=4+0+1=5$) y 011 es 3 ($0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=0+2+1=3$).
Por lo tanto, queda 53. Y resulta: ${101011}_2={53}_8$

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