Lógica/El lenguaje formal

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Siendo la lógica la ciencia de las posibilidades, se construyeron lógicas multivalentes: intuicionistas, probabilísticas, cuánticas, trivalentes, negaciones generalizadas, modal de implicación estricta, etc.

Nosotros veremos principalmente la lógica formal.

Sistema formal

La lógica de las proposiciones es un sistema formal, que incluye:

• Sintaxis para producir un e.b.f. (expresión bien formada) o reconocer si una expresión es un e.b.f .
• Semántica para interpretar e.b.f .; entonces este es un cálculo.

Se dice que la lógica bivalente de las proposiciones es verifuncional, lo que significa que una proposición solo puede tener dos valores de verdad: VERDADERO o FALSO.

El principio es el siguiente: Calcularemos el valor de verdad de una declaración compleja a partir del valor de verdad de sus componentes.

Objetos básicos

• Un conjunto de proposiciones básicas, llamadas átomos o proposiciones atómicas:

$a,b,c,\dots$

• Un conjunto de conectores que serán: :
  • únicos: solo se aplica a un átomo
    • la negación o NO $\mathrm{\neg }$.
      Ejemplo : $\mathrm{\neg }a$
  • binarios: se aplican a dos átomos
    • la conjunción o Y $\wedge$.
      Ejemplo: $a\wedge b$.
    • la disyuntiva o O $\vee$.
      Ejemplo:$a\vee b$.
    • la condición o SI entonces $\to$.
      Ejemplo : $a\to b$.
    • la bicondicional o SI soloamente $\leftrightarrow$.
      Ejemplo : $a\leftrightarrow b$.

Sintaxis

• Regla 1: Una proposición atómica es una proposición.
• Regla 2: Si « $a$ » es una proposición, entonces « $\mathrm{\neg }a$ » es una proposición.
• Regla 3: Si « $a$ » y « $b$ » son las proposiciones, entonces « $a\wedge b$ » es una proposición.
• Regla 4: Si « $a$ » y « $b$ » son las proposiciones, entonces « $a\vee b$ » es una proposición.
• Regla 5: Si « $a$ » y « $b$ » son las proposiciones, entonces « $a\to b$ » es una proposición.
• Regla 6: Si « $a$ » y « $b$ » son las proposiciones, entonces « $a\leftrightarrow b$ » es una proposición.
• Regla 7: Nada más es una proposición.

Semántica

• Regla 1 : A las proposiciones atómicas se les asigna el valor de verdad 'VERDADERO (V)' o 'FALSO (F)' .
• Regla 2 : Si "$a$" es una proposición, entonces el valor de verdad de $\mathrm{\neg }a$ es:
  • V si aquella de $a$ es F
  • F si aquella de $a$ es V
• Regla 3 : Si "$a$" y "$b$" son proposiciones, entonces el valor de verdad de $a\wedge b$ es:
  • V si y sólo si el valor de verdad de $a$ y de $b$ son V
  • F si uno de los valores de verdad de $a$ o $b$ es F
• Regla 4 : Si "$a$" y "$b$" son proposiciones, el valor de verdad de $a\vee b$ es:
  • V si uno de los valores de verdad de $a$ o $b$ es V
  • F si y solo si el valor de verdad de $a$ Y de $b$ son F
• Regla 5 : Si "$a$" y "$b$" son proposiciones, el valor de verdad de $a\to b$ es V en todos los casos SALVO si el valor de verdad de la premisa ($a$) es V y que el valor de la conclusión ($b$) es F.
• Regla 6 : Si "$a$" y "$b$" son proposiciones, el valor de verdad de $a\leftrightarrow b$ es V si y solo si $a$ y $b$ tienen el mismo valor de verdad.

Usando estas sencillas reglas podremos conocer el lenguaje formal de la lógica y como dijo el célebre matemático Henri Poincaré "Una palabra bien elegida puede economizar no sólo cien palabras sino cien pensamientos", de ahí la importancia de conocer bien el lenguaje.