Curso de Cálculo Integral/Actividad ST3 en clase

Teorema fundamental del cálculo

Concepto

Teorema: Si $F(x)$ es contínua de cualquier antiderivada de f derivable en el intervalo cerrado I, implica que la relación entre la derivada y antiderivada es $F(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\tau )d\tau$

Prueba:

Sea f una función real cuyo dominio es el intervalo abierto I, sí $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ y $G(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau$ entonces $G(x)=F(x)+C$ tambien lo es.

Despejando a la constante $C$

$G(x)-F(x)=C$

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau -F(x)=C$

Evaluando en los dos extremos empezando en el punto cuando $x=a$

$G(a)-F(a)=C$

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(\tau )d\tau -F(a)=C$

$0-F(a)=C$

Ahora evaluamos la ecuación en el punto $x=b$

$G(b)-F(b)=C$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\tau )d\tau -F(b)=C=-F(a)$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\tau )d\tau =F(b)-F(a)$

Ejemplo:

$\underset{2}{\overset{4}{\int }}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_1^4=\frac{4^2}{2}-\frac{2^2}{2}=2^2\frac{(4-1)}{2}=2(3)=6$

Ejemplo2:

Teorema $\frac{dF(x)}{dx}=f(x)=\frac{d\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau }{dx}=f(x)$

prueba:

$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)=\frac{d\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau }{dx}=\frac{d(F(x)-F(a))}{dx}=f(x)+0=f(x)$

Generalización del teorema fundamental del cálculo

Teorema: Si $F(x)$ es contínua de cualquier antiderivada de f derivable en el intervalo abierto I, implica que la relación entre la derivada y antiderivada es  

$F(x)=\underset{g(x)}{\overset{h(x)}{\int }}f(\tau ,x)d\tau$

$d\frac{F(x)}{dx}=f(h(x),x)\frac{dh(x)}{dx}-f(g(x),x)\frac{dg(x)}{dx}+\underset{g(x)}{\overset{h(x)}{\int }}\frac{\partial f(\tau ,x)}{\partial x}d\tau$

Prueba:

$\frac{dF(x)}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)=\underset{g+\mathrm{\Delta }g}{\overset{h+\mathrm{\Delta }h}{\int }}f(\tau ,x+\mathrm{\Delta }x)d\tau -\underset{g}{\overset{h}{\int }}f(\tau ,x)d\tau$

$F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)=(\underset{g+\mathrm{\Delta }g}{\overset{g}{\int }}+\underset{g}{\overset{h}{\int }}+\underset{h}{\overset{h+\mathrm{\Delta }h}{\int }})f(\tau ,x+\mathrm{\Delta }x)d\tau -\underset{g}{\overset{h}{\int }}f(\tau ,x)d\tau$

$F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)=(\underset{h}{\overset{h+\mathrm{\Delta }h}{\int }})-\underset{g}{\overset{g+\mathrm{\Delta }g}{\int }})f(\tau ,x+\mathrm{\Delta }x)d\tau +\underset{g}{\overset{h}{\int }}[f(\tau ,x+\mathrm{\Delta }x)-f(\tau ,x)]d\tau$

$\underset{\mathrm{\Delta }g\to 0}{\lim }\underset{g}{\overset{g+\mathrm{\Delta }g}{\int }}f(\tau ,x+\mathrm{\Delta }x)d\tau =\underset{\mathrm{\Delta }g\to 0}{\lim }F(g+\mathrm{\Delta }g,x+\mathrm{\Delta }x)-F(g,x+\mathrm{\Delta }x)$

$\underset{\mathrm{\Delta }g\to 0}{\lim }\underset{g}{\overset{g+\mathrm{\Delta }g}{\int }}f(\tau ,x+\mathrm{\Delta }x)d\tau =\underset{\mathrm{\Delta }g\to 0}{\lim }\frac{\partial F}{\partial g}{|}_g\mathrm{\Delta }g=\frac{\partial F}{\partial g}{|}_g\partial g=f(g,x)\partial g$

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[f(\tau ,x+\mathrm{\Delta }x)-f(\tau ,x)]=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\partial f(x)}{\partial x}\mathrm{\Delta }x$

$d\frac{F(x)}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}[(f(h,x)\mathrm{\Delta }h-f(g,x)\mathrm{\Delta }g)+\underset{g}{\overset{h}{\int }}\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{\Delta }xd\tau ]$

Obtenemos la llamada fórmula de Leibniz

$d\frac{F(x)}{dx}=f(h,x)D_{x}h-f(g,x)D_{x}g+\underset{g}{\overset{h}{\int }}\frac{\partial F}{\partial x}d\tau$

Ejemplo:

$D_x\underset{x^2+2}{\overset{x^3+3}{\int }}xsen(\tau )d\tau =xsen(x^3+3)3x^2-xsen(x^2+2)2x+\underset{x^2+2}{\overset{x^3+3}{\int }}sen(\tau )d\tau$

$D_x\underset{x^2+2}{\overset{x^3+3}{\int }}xsen(\tau )d\tau =3x^{3}sen(x^3+3)-2x^{2}sen(x^2+2)-cos(x^3+3)+cos(x^2+2)$

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 3 RGA1.3

Véase también

• Actividad SHC3: Actividad 3 en clase
• Actividad SHE3: Actividad 3 extraclase