Curso de Cálculo Integral/Actividad ST1 en clase

Antiderivada

Concepto

La antiderivada es una función $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau$

Teorema: sea f una función real cuyo dominio es el intervalo abierto I, sí $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ entonces $G(x)=F(x)+C$ tambien lo es.

Prueba

$\frac{dF(x)}{dx}=\frac{dG(x)}{dx}=f(x)$

Entonces la tarea de buscar una función tal que la derivada $\frac{dF(x)}{dx}$ sea igual que la función $f(x)$ se le llamaría un método directo de antiderivación.

Este método se basa directamente de las derivadas.

Ejemplo:

Sea la función $f(x)=x^n$, de las derivadas sabemos que la derivada de una función con potencia n se calcula como $\frac{d{x}^n}{dx}=n{x}^{n-1}$, por lo que la función $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ para que aplicando la derivada a la función $F(x)$ nos entregue la función $f(x)$.

$\frac{dF(x)}{dx}=\frac{d\frac{x^{n+1}}{n+1}}{dx}=(n+1)\frac{x^{n+1-1}}{n+1}=x^n=f(x)$ y puesto que $F(x)$ es una primitiva de $G(x)$, entonces la antiderivada es una función $G(x)=F(x)+C=x^n+C$

Integral Indefinida

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función: octave:3> syms x a Symbolic pkg v2.9.0: Python communication link active, SymPy v1.5.1. Para integrar a $\underset{a}{\overset{x}{\int }}se{c}^2(x)dx$ octave:12> f = (sec(x))^2 f = (sym) 2 sec (x) octave:17> int(f,x,a,x) ans = (sym) sin(a) sin(x) - ────── + ────── cos(a) cos(x)

— Esta es la integral indefinida la cual servirá para construir a la antiderivada

La integral indefinida es la función primitiva que se encuentra dentro del intervalo de $[a,x]$ en I, es decir la relación entre la antiderivada y la integral indefinida se define cuando se realiza la primitiva esta no se evalúa en I portanto queda expresada como una primitiva que representa una antiderivada, en algún intervalo no explicito dentro de I.

Definición

La integral indefinida $\int f(\tau )d\tau$ se puede definir de la siguiente forma

$\int f(\tau )d\tau =F(\tau )+C$

Por lo tanto puede construirse la antiderivada desde la Integral indefinida

Teorema

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau =[\int f(\tau )d\tau {]}_a^x$

Prueba

$[\int f(\tau )d\tau {]}_a^x=[F(\tau )+C^{\prime }{]}_a^x=F(x)+C=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau$

Antiderivada a partir de la Integral indefinida

De esta forma usando una integral indefinida puedo reconstruir una antiderivada

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau =\int f(x)dx+C^{″}=F(x)+C^{\prime }+C^{″}=F(x)+C$

Ejemplo

Encontrar la antiderivada de $se{c}^2(x)$, usando la integral indefinida.

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}se{c}^2(\tau )d\tau =\int se{c}^2(x)dx+C^{″}=tan(x)+C^{\prime }+C^{″}=tan(x)+C$

Cambio de variable o método de sustitución

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función: octave:3> syms x Symbolic pkg v2.9.0: Python communication link active, SymPy v1.5.1. Para integrar a $\int (x^3+2{)}^2(x)dx$ octave:21> f = 3*x^2*(x^3+2)^2 f = (sym) 2 2 ⎛ 3 ⎞ 3⋅x ⋅⎝x + 2⎠ octave:22> int(f,x) ans = (sym) 9 x 6 3 ── + 2⋅x + 4⋅x 3

— Esta es la integral indefinida

El cambio de variable de integración es una técnica empleada para continuar encontrando más reglas de antiderivadas o de integrales indefinidas, de tal forma que al realizar el cambio de variable éste cambio permita que la forma de la integral se encuentre dentro de las integrales inmediatas y de está forma realizar finalmente la integral o antiderivada.

Si $F(x)=\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx$ entonces el cambio de varialbe puede ralizarse de lasiguiente forma

siendo $u=g(x),du=g^{\prime }(x)dx$

EjemploEjemplo

$F(x)=\int (x^3+2{)}^{2}3x^{2}dx$ el cambio de variable sería $u=(x^3+2),du=3x^{2}dx$

Por lo tanto la integral indefinida se puede expresar de la siguiente forma

$F(u)=\int u^{2}du=\frac{u^3}{3}+C$, regresando a la varialbe original

$F(x)=\frac{(x^3+2{)}^3}{3}+C$

Reglas para las antiderivadas

Para las antiderivadas inmediatas las reglas provienen de las formulas de las derivadas.

Es decir la deduccón de la regla de la anterior proviene de la regla de las potencias de las derivadas, entonces esta regla será de la potencia para las antiderivadas.

De esta forma algunas de las reglas inmediatas son las siguientes:

De la derivada de la constante $\frac{dC}{dx}=0$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}0d\tau =0+C$

De la derivada de la variable $\frac{dx}{dx}=1$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}1d\tau =x+C$

De la derivada de la constante $\frac{d{e}^x}{dx}=e^x$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}{e}^{\tau }d\tau =e^x+C$

De la derivada de la constante $\frac{df(x)}{dx}=f^{\prime }(x)$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(\tau )d\tau =f(x)+C$

De la derivada de la constante $\frac{d{a}^x}{dx}=\frac{a^x}{lo{g}_{e}a}$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}{b}^{\tau }d\tau =\frac{b^x}{lo{g}_{e}b}+C$

De la derivada de la constante $\frac{dlo{g}_b|x|}{dx}=\frac{1}{xlo{g}_{e}b}$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\tau }d\tau =lo{g}_e|x|+C$

De la derivada de la constante $\frac{dsen(x)}{dx}=cos(x)$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}cos(\tau )d\tau =sen(x)+C$

De la derivada de la constante $\frac{dcos(x)}{dx}=-sen(x)$ podemos construir la regla $\underset{a}{\overset{x}{\int }}sen(\tau )d\tau =-cos(x)+C$

Entre otras.

Reglas para las integrales indefinidas

Lo mismo que para las antiderivadas inmediatas las reglas provienen de las formulas de las derivadas.

De esta forma algunas de las reglas inmediatas son las siguientes:

De la derivada de la constante $\frac{dC}{dx}=0$ podemos construir la regla $\int 0dx=0+C$

De la derivada de la variable $\frac{dx}{dx}=1$ podemos construir la regla $\int 1dx=x+C$

De la derivada de la constante $\frac{d{e}^x}{dx}=e^x$ podemos construir la regla $\int e^{x}dx=e^x+C$

De la derivada de la constante $\frac{df(x)}{dx}=f^{\prime }(x)$ podemos construir la regla $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$

De la derivada de la constante $\frac{d{a}^x}{dx}=\frac{a^x}{lo{g}_{e}a}$ podemos construir la regla $\int b^{x}dx=\frac{b^x}{lo{g}_{e}b}+C$

De la derivada de la constante $\frac{dlo{g}_b|x|}{dx}=\frac{1}{xlo{g}_{e}b}$ podemos construir la regla $\int \frac{1}{x}dx=lo{g}_e|x|+C$

De la derivada de la constante $\frac{dsen(x)}{dx}=cos(x)$ podemos construir la regla $\int cos(x)dx=sen(x)+C$

De la derivada de la constante $\frac{dcos(x)}{dx}=-sen(x)$ podemos construir la regla $\int sen(x)dx=-cos(x)+C$

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 1 RGA1.1

Véase también

• Actividad SHC1: Actividad 1 en clase
• Actividad SHE1: Actividad 1 extraclase