Curso de Álgebra Lineal

1. Noción de Cuerpo

Definición: Diremos que $F\ne \mathrm{\varnothing }$ es un cuerpo si en $F$ son definidas dos operaciones, {+, ·}, conmutativas y asociativas tales que:

+ cumple con:

a) $(\mathrm{\exists }{0}_F\in F):(\mathrm{\forall }x\in F),0_F+x=x+0_F=x$

b) $(\mathrm{\forall }x\in F),(\mathrm{\exists }(-x)\in F):x+(-x)=0_F$

· cumple con:

a) $(\mathrm{\exists }{1}_F\in F):(\mathrm{\forall }x\in F)1_F\cdot x=x\cdot 1_F=x$

b) $(\mathrm{\forall }x\in F,x\ne 0)\mathrm{\exists }(x{)}^{-1}\in F:x\cdot x^{-1}=1_F$

Además, $(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,x_3\in F)x_1\cdot (x_2+x_3)=x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3$

2. Espacios Vectoriales

Sea V un conjunto de vectores y F un cuerpo. Sean $x=(x_1,x_2,...,x_n)y=(y_1,y_2,...,y_n)$ dos vectores del conjunto V. Sobre el conjunto de vectores, podemos definir operaciones de suma y ponderación por escalar, de la siguiente manera:

$x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)\in V$

Sea $\lambda \in F$: $\lambda x=\lambda (x_1,x_2,...,x_n)=(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)\in V$

Definición:

Sea $V\ne \mathrm{\varnothing }$ un conjunto de vectores y F un cuerpo. Diremos que V es un Espacio Vectorial sobre el cuerpo F, si se pueden definir en V operaciones {+, ·} tales que:

$+:V\times V\to V$

$(x,y)\to x+y$

Con las siguientes propiedades:

a) $(\mathrm{\forall }{v}_1,v_2,v_3\in V),(v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3)$ (asociatividad)

b) $(\mathrm{\forall }{v}_1,v_2\in V),v_1+v_2=v_2+v_1$ (conmutatividad)

c) $(\mathrm{\exists }0\in V):(\mathrm{\forall }v\in V),0+v=v+0=v$ (elemento neutro)

d) $(\mathrm{\forall }v\in V),(\mathrm{\exists }(-v)\in V):v+(-v)=0$ (elemento nulo)

$\cdot :F\times V\to V$

$(\lambda ,y)\to \lambda y$

Con las siguientes propiedades:

a) $(\mathrm{\forall }\lambda \in F)(\mathrm{\forall }x,y\in V)\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$

b) $(\mathrm{\forall }x\in V),0\cdot x=0$

c) $(\mathrm{\forall }x\in V),1\cdot x=x$