Cadenas radiactivas

Proyecto de aprendizaje: Decaimiento radiactivo

Cadenas radiactivas

Es un caso común que el nucleido resultante de un decaimiento radiactivo sea a su vez radiactivo, por lo que para su estudio han de plantearse tantas ecuaciones diferenciales, acopladas entre sí, como nucleidos radiactivos.

Por ejemplo estudiemos el caso más sencillo de 2 núcleidos radiactivos en el que el primero tiene un único modo de desintegración en el que decae al segundo.

$\frac{d{N}_0}{dt}=-{\lambda }_0{N}_0$

$\frac{d{N}_1}{dt}={\lambda }_0{N}_0-{\lambda }_1{N}_1$

La solución de la primera ecuación es ya conocida:

$N_0=N_0(0)e^{-{\lambda }_{0}t}$

Para la segunda se ensaya una solución de la forma:

$N_1(t)=\alpha e^{-{\lambda }_{0}t}+\beta e^{-{\lambda }_{1}t}$

con la que obtenemos:

$\frac{d{N}_1}{dt}=-{\lambda }_0\alpha e^{-{\lambda }_{0}t}-{\lambda }_1\beta e^{-{\lambda }_{1}t}={\lambda }_0{N}_0(0)e^{-{\lambda }_{0}t}-{\lambda }_1\alpha e^{-{\lambda }_{0}t}-{\lambda }_1\beta e^{-{\lambda }_{1}t}$

Los términos es $\beta$ y exponenciales se simplifican, resultando una ecuación para $\alpha$

$-{\lambda }_0\alpha ={\lambda }_0{N}_0(0)-{\lambda }_1\alpha$

que permite encontrar la siguiente solución para $\alpha$:

$\alpha =\frac{{\lambda }_0{N}_0(0)}{{\lambda }_1-{\lambda }_0}$

$\beta$ se determina considerando el valor de $N_1(0)$:

$N_1(0)=\alpha +\beta \Rightarrow \beta =N_1(0)-\alpha$

y por tanto:

$N_1(t)=\alpha e^{-{\lambda }_{0}t}+N_1(0)e^{-{\lambda }_{1}t}-\alpha e^{-{\lambda }_{1}t}=\alpha (e^{-{\lambda }_{0}t}-e^{-{\lambda }_{1}t})+N_1(0)e^{-{\lambda }_{1}t}=\frac{{\lambda }_0{N}_0(0)}{{\lambda }_1-{\lambda }_0}(e^{-{\lambda }_{0}t}-e^{-{\lambda }_{1}t})+N_1(0)e^{-{\lambda }_{1}t}$