Cálculo y análisis matemático/Tipos de funciones/Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que $|X|=|Y|$.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función $f$:

$\begin{array}{cccc}f:& X& \to & Y\\ & x& \to & y=f(x)\end{array}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

$\mathrm{\forall }y\in Y:\mathrm{\exists }!x\in X/f(x)=y$

Es decir, para todo $y$ de $Y$ se cumple que existe un único $x$ de $X$, tal que la función evaluada en $x$ es igual a $y$

Ejemplo

La función:

$f(x)=\alpha x+\beta ,$ con $\alpha ,\beta \in ℝ$ y $\alpha \ne 0$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

$f^{-1}(x)=\frac{x-\beta }{\alpha }$

Funciones	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva	Biyectiva
No sobreyectiva