Cálculo y análisis matemático/Límite de una función/Noción intuitiva de límite

Concepto de límite

Función cúbica.

El concepto intuitivo de límite es muy simple. Al hablar de límite, hablamos del valor que parece tomar la función f(x) cuando x se aproxima a cualquier $x_0$ que consideremos. La razón del "parece" tendrá más sentido después, por ahora consideremos la gráfica que se muestra. Está gráfica corresponde a la ecuación $y=x^3$. En este caso podemos tomar por ejemplo $x_0=1$ como el $x_0$ cualquiera que mencionamos. Podemos ver los valores de f(x) en una tabla de la siguiente forma:

x	f(x)
0	0
0.5	0.125
0.75	0.421875
0.9	0.729
0.99	0.970299
0.999	0.997002999
0.9999	0.999700029999

x	f(x)
2	8
1.5	3.375
1.25	1.953125
1.1	1.331
1.01	1.030301
1.001	1.003003001
1.0001	1.000300030001

Se puede observar, tanto en la gráfica como en la tabla, que cuando x toma valores cercanos a 1, la función f(x) también se aproxima al valor de 1. Esto se puede entender porque $1^3=1$ y es de esperarse que cuando x este cerca del 1, la función f(x) también este cerca de este valor. Lo mismo pasa para cualquier otro $x_0$ que consideremos.

Pero el hecho de que $f(x)\approx f(x_0)\text{ cuando }x\approx x_0$ no siempre es cierto. Por ejemplo, al utilizar la función $\frac{(x-1)}{(x-1)}$ podemos observar que cuando si el valor de $x=1\text{, entonces }f(x)=\frac{(0)}{(0)}$, y la función queda indefinida por lo que no le podemos asignar ningún valor, sin embargo con las tablas de valores obtenemos:

x	f(x)
0	1
0.5	1
0.75	1
0.9	1
0.99	1
0.999	1
0.9999	1

x	f(x)
2	1
1.5	1
1.25	1
1.1	1
1.01	1
1.001	1
1.0001	1

Lo cual hace "parecer" que la función se acerca a 1 cuando x también se acerca a 1. En este caso el límite es 1 porque cuando $x_0=1$ se puede apreciar en la tabla de valores que $f(x)\approx 1\text{ cuando }x\approx x_0$.

Por ahora podemos decir que si llamamos L al límite de una función para un x₀ cualquiera, podemos decir que $f(x)\approx L\text{ cuando }x\approx x_0$. Por lo tanto, definimos el límite de una función como el número L que cumple esa condición.