Cálculo y análisis matemático/Definición integral de Riemann

Definiciones

Partición

Una partición $P$ de un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$ es una función $x:\{0,\dots ,n\}⟶[a,b]$ tal que $x$ es creciente con $n\ge 2$, $x(0)=a$ y $x(n)=b$, comúnmente escribiremos $P=\{x_o=a,x_1,\dots ,x_{n-1},x_n=b\}$. El conjunto de todas las particiones del intervalo $[a,b]$ es denotado por $𝒫([a,b])$.

Sumas de Riemman

Sea $f:[a,b]⟶ℝ$ acotada, $P\in 𝒫([a,b])$ digamos $P=\{x_o=a,x_1,\dots ,x_{n-1},x_n=b\}$, $M_i=\sup f([x_{i-1},x_i]),i=1,\dots ,n$ e $m_i=\inf f([x_{i-1},x_i]),i=1,\dots ,n$.

Suma superior

La suma superior de Riemman de la función $f$, asociada a la partición $P$ es $U(P,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$ Donde $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1},i=1,\dots ,n$

Suma inferior

La suma superior de Riemman de la función $f$, asociada a la partición $P$ es $L(P,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$ Donde $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1},i=1,\dots ,n$

Integrales Superiore e Inferior de Riemann

Sea $f:[a,b]⟶ℝ$ acotada definimos:

Integral superior

La integral superior de Riemann de $f$ en $[a,b]$ por: $\underset{a}{\overset{\hat{b}}{\int }}f=inf\{U(P,f):P\in 𝒫([a,b])\}$

Integral inferior

La integral inferior de Riemann de $f$ en $[a,b]$ por: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f=sup\{L(P,f):P\in 𝒫([a,b])\}$

Intregral de Riemann

Diremos que $f:[a,b]⟶ℝ$ acotada, es integrable Riemann en $[a,b]$, si su intregal superior e inferior coinciden, en cuyo caso al valor en común se le llamara la integral de Riemman de $f$ en $[a,b]$ (se escribira $f\in ℛ([a,b])$, para denotar que la función es intregrable Riemann en dicho intervalo), es decir: $inf\{U(P,f):P\in 𝒫([a,b])\}=sup\{L(P,f):P\in 𝒫([a,b])\}$