Cálculo y análisis matemático/Conceptos básicos/Función y dominio

Definición de función

Si se tienen dos conjuntos A y B, se puede crear una regla donde cada elemento de A tenga un único elemento correspondiente en B. Esta regla se llama función y se representa como $f:A\to B$, donde $f$ es la regla de asociación, A el conjunto de los elementos a asociar y B el conjunto de los elementos asociados.

En el caso de los números reales, esta asociación se hace mediante una ecuación de la forma $y=f(x)$ donde $f(x)$ puede ser cualquier expresión algebraica que use a x como variable. Un ejemplo de esto seria: $y=f(x)=4x^2-x+9$. Esta manera de escribir las funciones tiene la ventaja de que los puntos $(x,y)$ se vuelven $(x,f(x))$ y esto ayuda a graficar la función, pues usando el ejemplo anterior, la gráfica de la función $f(x)=4x^2-x+9$ estará descrita por todos los puntos $(x,4x^2-x+9)$.

Usando esta terminología, se acostumbra llamar a la y la variable dependiente y a la x la variable independiente. Esto se debe a que como $y=f(x)$, necesitamos dar un valor de x y luego realizar las operaciones necesarias para conocer su valor, por lo que la y depende del valor que tome la x, mientras que esta última puede tomar el valor que sea.

Dominio de una función

El conjunto A de la función se llama dominio. En el caso de los números reales, el dominio de una función puede ser todo el conjunto $ℝ$ o cualquier subconjunto como los naturales $\mathbb{N}$, o los racionales $\mathbb{Q}$.