Arcoseno

Definición

La función seno es estrictamente creciente y continua si se restringe al intervalo $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$. En ese caso a cada número b del intervalo $[-1;1]$ le corresponde un único número de $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ tal que :

$\mathrm{sen}a=b$.

Notamos entonces :

$a=\mathrm{arcsen}b$

Hemos trazado la curva de arcoseno en $[-1;1]$. Esta se deduce de la de seno al ser simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Variaciones

La función arcsen está estrictamente restringida en el intérvalo [-1;1].

Tabla de variación

x	$-1$ $+1$
$\mathrm{arcsen}$	$+\frac{\pi }{2}$ $\nearrow$ $-\frac{\pi }{2}$

Derivada

Teorema

La función Arcsin es derivable en ]-1;1[

Demostración

Por definición:

$\mathrm{\forall }x\in [-1;+1],\sin (\mathrm{Arcsin}x)=x$

En derivada en relación,encontramos:

$\cos (\mathrm{Arcsin}x)\cdot {\mathrm{Arcsin}}^{\prime }x=1$

Donde :

${\mathrm{Arcsin}}^{\prime }x=\frac{1}{\cos (\mathrm{Arcsin}x)}$

Sabemos que, para todo ángulo θ, ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ donde $\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$

Finalmente:

${\mathrm{Arcsin}}^{\prime }x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, esta fórmula es válida en ]-1 ; 1[.