Lógica proposicional/Equivalencias

Plantilla:Título lección En todas las áreas de las matemáticas necesitamos mecanismos para saber cuando dos entidades son iguales o esencialmente las mismas. En la lógica proposicional este concepto se llama equivalencia y se da entre dos proposiciones cuando ambas siempre tienen el mismo valor de verdad para una misma asignación de valores de verdad de las proposiciones que las componen.

Equivalencia lógica

Una proposición es lógicamente equivalente a otra cuando cada una de las asignaciones de valores de verdad a las proposiciones simples que las componen genera el mismo valor de verdad en ambas proposiciones. En otras palabras, dos expresiones son lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son iguales.

La equivalencia lógica se representa con el símbolo $\equiv$ y significa que podemos reemplazar una expresión con su equivalente ya que ambas generan la misma tabla de verdad. La expresión $A\wedge B\equiv B\wedge A$ nos indica que podemos reemplazar cualquier ocurrencia de $A\wedge B$ con $B\wedge A$ sin alterar los valores de las expresiones donde hacemos el cambio o la validez de los procesos de razonamiento donde las utilizamos.

Equivalencia material

La equivalencia material es una conectiva lógica representada con el símbolo $\iff$ cuyo valor de verdad es $V$ si las proposiciones a las que se aplica tienen el mismo valor de verdad y tiene un valor de verdad $F$ si los valores de verdad de las proposiciones son diferentes. Podemos representar el comportamiento de la conectiva con la siguiente tabla de verdad:

$\mathit{\alpha }$	$\mathit{\beta }$	$\mathit{\alpha }\mathit{\iff }\mathit{\beta }$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$

En lenguaje natural esta conectiva está aproximadamente representada con la expresión «si y solo si» y se le suele denominar bicondicional o doble implicación. Estos nombres se deben a que es lógicamente equivalente a la conjunción de dos implicaciones donde el antecedente de una es el consecuente de otra y el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda. Esta relación la podemos ver con más claridad en la siguiente tabla:

$\gamma$	$\delta$	$\gamma \Rightarrow \delta$	$\delta \Rightarrow \gamma$	$(\gamma \Rightarrow \delta )\wedge (\delta \Rightarrow \gamma )$	$\gamma \iff \delta$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$

Dado que $(\gamma \Rightarrow \delta )\wedge (\delta \Rightarrow \gamma )$ y $\gamma \iff \delta$ tienen la misma tabla de verdad, podemos decir que son lógicamente equivalentes: $(\gamma \iff \delta )\equiv ((\gamma \Rightarrow \delta )\wedge (\delta \Rightarrow \gamma ))$.

Diferencia entre la equivalencia lógica y la equivalencia material

La equivalencia lógica y la equivalencia material son conceptos relacionados pero no son la misma cosa y no se pueden usar de forma intercambiable. La equivalencia lógica nos permite reemplazar unas proposiciones lógicas por otras siempre que las tablas de verdad que generan sean iguales. La equivalencia material nos permite construir expresiones complejas y puede tener valores de verdad diferentes dependiendo de los valores de verdad de las expresiones a las que se aplica.

Una equivalencia material puede tener un valor de verdad falso ($F$) si se aplica a expresiones con diferentes valores de verdad. Por ejemplo, si la proposición $A$ tiene un valor de verdad $V$ y la proposición $B$ tiene un valor de verdad $F$, la expresión $A\iff B$ es válida y tiene un valor de verdad $F$. Pero no podemos aplicar una equivalencia lógica en este caso porque las tablas de verdad de $A$ y $B$ no son iguales. Solo podemos decir que no existe una equivalencia lógica entre $A$ y $B$.

La equivalencia material se puede definir en términos de dos implicaciones y una conjunción usando el concepto de equivalencia lógica, de la forma explicada en la sección anterior. Igualmente podemos definir la equivalencia lógica usando la equivalencia material si consideramos que dos expresiones son lógicamente equivalentes ($\equiv$) cuando la equivalencia material ($\iff$) construida con ellas es una tautología.

Por ejemplo, en la siguiente tabla de verdad podemos ver que la equivalencia material de la expresión $\mathrm{\neg }(\alpha \wedge \beta )$ y de la expresión $\mathrm{\neg }\alpha \vee \mathrm{\neg }\beta$ es una tautología ya que ambas generan los mismos valores de verdad para cada asignación de valores de verdad a las proposiciones simples que las componen y por lo tanto podemos decir que son lógicamente equivalentes: $\mathrm{\neg }(\alpha \wedge \beta )\equiv \mathrm{\neg }\alpha \vee \mathrm{\neg }\beta$

$\alpha$	$\beta$	$(\alpha \wedge \beta )$	$\mathrm{\neg }(\alpha \wedge \beta )$	$\mathrm{\neg }\alpha$	$\mathrm{\neg }\beta$	$(\mathrm{\neg }\alpha \vee \mathrm{\neg }\beta )$	$\mathrm{\neg }(\alpha \wedge \beta )\iff \mathrm{\neg }\alpha \vee \mathrm{\neg }\beta$
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$	$F$	$V$	$V$	$V$
$F$	$V$	$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$

Podemos identificar claramente el concepto que estamos usando en un momento determinado de la siguiente manera:

• Si reemplazamos una expresión con otra durante un proceso de razonamiento entonces estamos usando una equivalencia lógica
• Si construimos proposiciones compuestas usando el símbolo $\iff$ entonces estamos usando una equivalencia material

Equivalencias de uso más frecuente

Existe una cantidad infinita de pares de expresiones que son equivalentes lógicamente, pero existe un conjunto reducido que es usado con mucha frecuencia en los procesos de razonamiento y comúnmente se les llama «propiedades del álgebra de proposiciones» o «leyes de la lógica».

Equivalencia	Nombre
$\alpha \wedge V\equiv \alpha$	Neutro de la conjunción
$\alpha \vee F\equiv \alpha$	Neutro de la disyunción
$\alpha \wedge F\equiv F$	Dominación de la conjunción
$\alpha \vee V\equiv V$	Dominación de la disyunción
$\alpha \wedge \mathrm{\neg }\alpha \equiv F$	Inversa de la conjunción
$\alpha \vee \mathrm{\neg }\alpha \equiv V$	Inversa de la disyunción
$\alpha \wedge \alpha \equiv \alpha$	Idempotencia de la conjunción
$\alpha \vee \alpha \equiv \alpha$	Idempotencia de la disyunción
$\alpha \wedge (\alpha \vee \beta )\equiv \alpha$	Absorción de la conjunción
$\alpha \vee (\alpha \wedge \beta )\equiv \alpha$	Absorción de la disyunción
$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\alpha \equiv \alpha$	Doble negación
$\mathrm{\neg }(\alpha \wedge \beta )\equiv \mathrm{\neg }\alpha \vee \mathrm{\neg }\beta$	Ley de De Morgan para la conjunción
$\mathrm{\neg }(\alpha \vee \beta )\equiv \mathrm{\neg }\alpha \wedge \mathrm{\neg }\beta$	Ley de De Morgan para la disyunción
$\alpha \wedge \beta \equiv \beta \wedge \alpha$	Conmutatividad de la conjunción
$\alpha \vee \beta \equiv \beta \vee \alpha$	Conmutatividad de la disyunción
$\alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )\equiv (\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma$	Asociatividad de la conjunción
$\alpha \vee (\beta \vee \gamma )\equiv (\alpha \vee \beta )\vee \gamma$	Asociatividad de la disyunción
$\alpha \wedge (\beta \vee \gamma )\equiv (\alpha \wedge \beta )\vee (\alpha \wedge \gamma )$	Distributividad de la conjunción
$\alpha \vee (\beta \wedge \gamma )\equiv (\alpha \vee \beta )\wedge (\alpha \vee \gamma )$	Distributividad de la disyunción
$\alpha \Rightarrow \beta \equiv \mathrm{\neg }\beta \Rightarrow \mathrm{\neg }\alpha$	Contraposición lógica
$\alpha \Rightarrow \beta \equiv \mathrm{\neg }\alpha \vee \beta$	Implicación material
$\alpha \iff \beta \equiv (\alpha \Rightarrow \beta )\wedge (\beta \Rightarrow \alpha )$	Definición de equivalencia material

Resumen de la lección

• La equivalencia lógica permite reemplazar una expresión con otra si ambas generan la misma tabla de verdad.
• La equivalencia material es una conectiva lógica que es verdadera si las dos proposiciones a las que se aplica tienen el mismo valor de verdad y falsa si las proposiciones tienen valores de verdad diferentes.
• Dos expresiones son lógicamente equivalentes ($\equiv$) cuando la equivalencia material ($\iff$) construida con ellas es una tautología.
• Las «propiedades del álgebra de proposiciones» o «leyes de la lógica» son equivalencias lógicas.

Términos clave

• Bicondicional (equivalencia material)
• Equivalencia lógica
• Leyes de De Morgan
• Contraposición lógica
• Implicación material

Bibliografía

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