Fuentes de Campo Magnético

Fuentes de Campo Magnético

Dirección de la corriente y el campo magnético en un conductor.

Si dos corrientes circulan en paralelo, pueden atraerse o repelerse. Cada conductor genera un campo magnético alrededor de él que actúa sobre el otro conductor produciendo así una fuerza magnética entre ellos.

La ley de Ampere dice que si las corrientes circulan en el mismo sentido se atraen y si circulan en sentidos contrarios se repelen.

Atracción entre corrientes dependiendo del sentido de circulación.

Ley de Biot-Savart

Ilustración de la ecuación de Biot-Savart.

La expresión encontrada para hallar el valor del campo magnético en algún punto del espacio, “se basa en observaciones experimentales para el campo magnético $d\overrightarrow{B}$en un punto P asociado con un elemento de longitud $d\overrightarrow{s}$ de un alambre por el cuál circula una corriente estable”.

• El vector ݀$d\overrightarrow{B}$ es perpendicular tanto a $d\overrightarrow{s}$ como al vector unitario $\hat{r}$ dirigido desde ݀$d\overrightarrow{s}$ hasta el punto P.

• La magnitud de ݀$d\overrightarrow{B}$ es inversamente proporcional a la distancia $r$ desde el $d\overrightarrow{s}$ a P.

• La magnitud de ݀$d\overrightarrow{B}$ es proporcional a la corriente $I$ y a la magnitud del ݀$d\overrightarrow{s}.$

• La magnitud del ݀$d\overrightarrow{B}$ es proporcional al ܵ݁݊$\sin \theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores ݀$d\overrightarrow{s}$ y $\hat{r}$.

“Todo lo anterior se resume en una expresión matemática conocida como la Ley de Biot-Savart”, que en su forma diferencial se expresa como:

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{Id\overrightarrow{s}\times \hat{r}}{r^2}$

donde ${\mu }_0$ es la permeabilidad del espacio libre que se define como: ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\left[\mathrm{T}\mathrm{\cdot }\frac{m}{A}\right]$

“Entonces para determinar el campo magnético total que se crea”, se emplea la siguiente expresión:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\int \frac{d\overrightarrow{s}\times \hat{r}}{r^2}$

Para un segmento recto, los límites de la integral serán 0 y la longitud del segmento .

Cálculo de B debido a una espira circular.

Campo producido por una espira circular.

Espira circular: para el cálculo del campo magnético se debe expresar el $d\overrightarrow{s}$ en función del radio y de los ángulos, por lo que se utiliza la fórmula de longitud de arco y se integra respecto al ángulo inicial y final.

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\int \frac{d\overrightarrow{s}\times \hat{r}}{r^2}$

Como en cada punto $d\overrightarrow{s}$ es perpendicular a $\hat{r},$ y $\hat{r}$ es un vector unitario, entonces $d\overrightarrow{s}\times \hat{r}=ds$ y a su vez $ds=rd\theta ,$ en donde el radio de la espira $r=a$ es constante.

Entonces el campo magnético está dado por:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}rd\theta =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta$

Finalmente, el campo magnético en el centro de una espira circular es:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}2\pi =\frac{{\mu }_{0}I}{2a}$

Para el campo producido por una espira circular en un punto fuera de ella a lo largo del eje de simetría, la distancia $r$ varía dependiendo de $x$, donde $x$ es la distancia del punto P a la espira:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2}\frac{a^2}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}$

Ley circuital de Ampère

Demarcación de las dimensiones del alambre.

La ley de Ampère se enuncia como:

“La integral de línea de $\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}$ alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a ${\mu }_{0}I$, en donde $I$ es la corriente total estable que pasa a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria cerrada”.

$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}={\mu }_{0}I$

La ley de Ampère describe la creación de campos magnéticos para todas las configuraciones de corriente continua, es útil para configuraciones con alto grado de simetría, como alambres, cilindros y esferas.

El cálculo se realizará para campos magnéticos constantes, por lo que $B$ sale de la integral y solo se integra la superficie.

Para un alambre largo de radio ܴ$R$ se presentan dos casos:

• Cuando $r\ge R$, es decir, fuera del alambre, $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

• Cuando $r<R$, es decir, en el interior del alambre, $B=\left(\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R^2}\right)r$, este valor se obtiene de $\frac{I^{\prime }}{I}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2},$ de ahí se despeja $I^{\prime }$ y esa es la corriente utilizada.

Cálculo de B debido a un solenoide

Solenoide ideal

Un solenoide es un alambre largo enrollado en forma de hélice. Cuando hay poco espacio entre las vueltas, estas pueden tratarse como espiras circulares y el campo magnético será la suma vectorial de los campos de todas las vueltas.

Cuando las espiras están muy apretadas, se pueden despreciar los efectos de borde y las distribuciones de líneas resultan similares a las de un imán de barra, un extremo del solenoide actúa como polo norte y el otro como polo sur.

Un solenoide ideal es aquel en el que las vueltas están muy apretadas y la longitud es mucho mayor que el radio de las espiras. Cuando se incrementa la longitud de un solenoide el campo fuera de él es muy débil.

Ilustración de las trayectorias.

Sabemos que sobre las trayectorias $2$, $3$ y $4$ no hay campo magnético, por lo tanto, solo queda el término asociado a la trayectoria $1$, como se muestra a continuación:

$\underset{Trayectoria1}{\oint }\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=B\int ds=Bl$

Aplicando la ley de Ampère:

$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=Bl={\mu }_{0}NI$

Se tiene que el campo magnético producido por un solenoide es:

$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{l}$

en donde $N$ es el número de espiras, $l$ es la longitud del solenoide, $I$ la corriente que circula y ${\mu }_0$ la constante magnética.

El paramagnetismo

Paramagnetismo: orientación momentos magnéticos.

“Las sustancias paramagnéticas tienen un magnetismo pequeño pero positivo, resultado de la presencia de átomos con momentos magnéticos permanentes, que interactúan de manera débil entre sí y se orientan al azar en ausencia de un campo magnético externo.

En presencia de un campo magnético externo, sus momentos se alinean con el campo, sin embargo, este proceso debe competir con el movimiento térmico, que tiene a ordenar al azar los momentos magnéticos”.

El diamagnetismo

“Cuando se aplica un campo magnético externo a una sustancia diamagnética, se induce un momento magnético débil en dirección opuesta al campo aplicado, esto hace que las sustancias diamagnéticas sean débilmente repelidas por un imán. Aunque el diamagnetismo está presente en toda materia, sus efectos son mucho menores que los del paramagnetismo o el ferromagnetismo y solo son evidentes cuando existen otros efectos”.

El ferromagnetismo

Se presenta cuando una sustancia cristalina exhibe efectos magnéticos intensos, como el hierro, cobalto, níquel. “Estas sustancias contienen momentos magnéticos atómicos permanentes que tienden a alinearse paralelamente uno con otro, incluso en presencia de un campo magnético débil, una vez alineada la sustancia se mantiene magnetizada incluso después de haberse retirado en campo externo”.

Ferromagnetismo:Dominios magnéticos.

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 1: Fuentes de campo magnético

Anexos

Bibliografía

A.,, Serway, Raymond. Física para ciencias e ingeniería(Novena edición edición). ISBN 9786075191980.

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