Cálculo y análisis matemático/Límite de una función/Unicidad del límite

Problema Unicidad del Límite

Como se vio en el capítulo anterior, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x₀, y se escribe: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$ para representar

$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}$

Pero ¿una función f(x) tiene solo un límite L cuando x se acerca a x₀? ¿podría tener por ejemplo 2, L y M?

Razonamiento

Supongamos que una función f(x) tiene dos límites distintos en $x_0$, esto es: $f(x)\approx L\text{ cuando }x\approx x_0$ y al mismo tiempo $f(x)\approx M\text{ cuando }x\approx x_0$, con L ≠ M.

o en la notación más formal:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$ y $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=M$

Por definición de límite, esto significa:

• $\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{\delta }_1>0:0<|x-x_0|<{\delta }_1\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}$
• $\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=M⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{\delta }_2>0:0<|x-x_0|<{\delta }_2\Rightarrow |f(x)-M|<\epsilon \end{array}$

Así, como lo anterior es valido para todo $\epsilon$ positivo, también es válido para $\epsilon /2$ y así:

• $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{\delta }_1>0:0<|x-x_0|<{\delta }_1\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon /2$
• $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{\delta }_2>0:0<|x-x_0|<{\delta }_2\Rightarrow |f(x)-M|<\epsilon /2$

Considerando $\delta$ = mínimo entre $delt{a}_1,delt{a}_2$, se tiene que si $0<|x-x_0|<\delta$ implica que se $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ y $0<|x-x_0|<{\delta }_2$. Así las expresiones anteriores se pueden refundir en:

• $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon /2$ y al mismo tiempo $0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-M|<\epsilon /2$

Pero $|0-L+M|=|f(x)-f(x)-(L-M)|=|(f(x)-L)-(f(x)-M)|<=|f(x)-L)|+|(f(x)-M)|$ Así:

• $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x)-(L-M)|<=|f(x)-L)|+|(f(x)-M)|<\epsilon /2+<\epsilon /2<\epsilon$

Es decir:

• $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |L-M|<\epsilon$

Esto es una contradicción, pues si L es distinto a M, debe existir al menos un $\epsilon$ donde lo anterior no se cumpla