Circuitos RC: Carga y descarga de un condensador

Carga de un condensador

Se tiene el siguiente circuito:

Cuando se cierra el interruptor S la corriente I comienza a fluir y el condensador C comienza a cargarse, además sabemos que deberá cumplirse:

$\mathrm{\Delta }V=0\Rightarrow V_R+V_C+V_{ϵ}=0$

aplicando las leyes de Kirchhoff y sustituyendo se obtiene:

$IR+\frac{Q}{C}-V_{ϵ}=0$

Teniendo en cuenta que se define I (intensidad de corriente) como la carga que atraviesa la sección por unidad de tiempo es decir, $I=\frac{dq}{dt}$ con lo que:

$\frac{dq}{dt}R+\frac{Q}{C}=V_{ϵ}$

Esta es una ecuación diferencial, para resolverla bastará con agrupar los términos que hagan referencia a la carga con el diferencial de carga y los términos temporales con el diferencial de tiempo, de esta forma nos queda que:

$\frac{dq}{dt}R=ϵ-\frac{Q}{C}\Rightarrow \frac{dq}{dt}=\frac{ϵ}{R}-\frac{Q}{RC}\Rightarrow dt=\frac{dq}{\frac{ϵ}{R}-\frac{Q}{RC}}$

Integrando esta última expresión a ambos lados:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt=\underset{0}{\overset{Q}{\int }}\frac{dq}{\frac{ϵ}{R}-\frac{Q}{RC}}$

Resolviendo la integral de la derecha por cambio de variable (sea el denominador = z) se obtiene:

$t=-RC\ln (1-\frac{Q}{Cϵ})\Rightarrow q(t)=Cϵ(1-e^{-\frac{t}{RC}})$

Derivando q en función de t obtendremos la corriente I (por la definición)

$I(t)=\frac{ϵ}{R}*e^{-\frac{t}{RC}}$

Es importante recalcar que cuando el condensador esta totalmente cargado la corriente I deja de fluir.

Descarga de un condensador

Se tiene el siguiente circuito donde el condensador esta cargado al máximo:

Como en el anterior caso sabiendo que ha de cumplirse la relación:

$V_R+V_C=0$

y por las leyes de Kirchhoff y sustitución

$IR-\frac{Q}{C}=0\Rightarrow IR=\frac{Q}{C}$

Como la carga disminuye con el tiempo habremos de integrar la inversa de la intensidad es decir, $-\frac{dq}{dt}$ :

$-\frac{dq}{dt}R=\frac{Q}{C}$

si reunimos los términos con sus diferenciales se obtiene:

$dt=-\frac{RC}{Q}dq$

integrando a ambos lados

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt=-RC\underset{Q}{\overset{q}{\int }}\frac{1}{Q}dq$

donde los límites para la segunda integral son Q y q ya que queremos una expresión general para que el condensador se descargue hasta una carga q, resolviendo ambas integrales (triviales), se consigue:

$t=-RC\ln (\frac{q}{Q})\Rightarrow q(t)=Q*e^{-\frac{t}{RC}}$

y de manera análoga al anterior apartado la corriente I se obtiene derivando esta expresión en función del tiempo

$I(t)=-\frac{Q}{RC}*e^{-\frac{t}{RC}}$

En ambas expresiones Q es la carga inicial de nuestro condensador C Plantilla:Navegación