Química 1 para ingenieros/Cifras significativas y análisis dimensional

Incertidumbre en las medidas

Notación científica

Es frecuente que los químicos trabajen con cifras muy grandes o muy pequeñas. Por ejemplo, en $1g$ de hidrógeno elemental hay aproximadamente:

$602200000000000000000000$ átomos de hidrógeno

Sería fácil pasar por alto un cero o añadir un cero de más luego del punto decimal. Por consiguiente, cuando se trabaja con números muy grandes o muy pequeños, se usa un sistema llamado notación científica. Sin importar su magnitud, todos los números pueden expresarse en la forma:

$N*10^n$

donde N es un número entre $1$ y $10$, y el exponente n, es un entero positivo o negativo. Se dice que todo número expresado de esta manera está escrito en notación científica. En lo fundamental, se requiere encontrar n. Hay que contar el número de lugares que debe moverse el punto decimal para obtener el número N (que está entre $1$ y $10$). Si el punto decimal debe moverse a la izquierda, n es un entero positivo, y si debe desplazarse a la derecha, n es un entero negativo.

$10.000=1*10^4$	$24.327=2,4327*10^4$
$1000=1*10^3$	$7958=7,958*10^3$
$100=1*10^2$	$594=5,94*10^2$
$10=1*10^1$	$98=9,8*10^1{0}^1$
$1=1*10^0$
$1/10=0,1=1*10^{-1}$	$0,32=3,2*10^{-1}$
$1/100=0,01*10^{-2}$	$0,067=6,7*10^{-2}$
$1/1000=0,001=1*10^{-3}$	$0,0049=4,9*10^{-3}$
$1/10000=0,0001=1*10^{-4}$	$0,00017=1,7*10^{-4}$

Tabla 1:Algunos ejemplos de cifras significativas

Precisión y exactitud

En el análisis de las mediciones y cifras significativas, es útil la diferenciación entre exactitud y precisión. La exactitud indica cuán cerca está una medición del valor verdadero de la cantidad medida. La precisión se refiere a cuán estrechamente concuerdan entre sí dos o más mediciones de la misma cantidad.

Redondeo de cifras

Un número se redondea hasta la cantidad deseada de cifras significativas eliminando uno o más dígitos en el lado derecho. Cuando el primer dígito eliminando después del punto es menor de $5$, se suma $1$ al último dígito conservado, así pues, $8,724g$ se redondea $8,73g$. Cuando es exactamente $5$ se agregue $1$ al último dígito conservado si es un número impar. Así, la cantidad $51.75g$ como $51.6g$. Cuando se debe eliminar más de un dígito, el redondeo se debe hacer completo y no dígito por dígito.

Cifras significativas: Definición y reglas para la asignación de las cifras significativas de un número

En el trabajo científico, siempre debemos tener el cuidado de escribir el número adecuado de cifras significativas. Las siguientes reglas determinan cuántas cifras significativas tiene un número.

1. Todo dígito que no sea cero son significativos De tal suerte, $845cm$ tiene tres cifras significativas, $1.234kg$ tiene cuatro, y así sucesivamente.

2. Los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. Así pues, $606m$ incluye tres cifras significativas, $40501kg$ posee cinco cifras significativas, etcétera.

3. Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. Su propósito es indicar la ubicación del punto decimal. Por ejemplo, 0.08 L tendría una cifra significativa; $0.0000349g$, tres cifras significativas.

4. Si un número es mayor que la unidad, todos los ceros escritos a la derecha del punto decimal cuentan como cifras significativas. Por ejemplo, $2.0mg$ tiene dos cifras significativas; $40.062mL$, cinco; y $3.040dm$, cuatro cifras significativas.

En el caso de números menores que la unidad, son significativos sólo los ceros que están al final del número y los que aparecen entre dígitos distintos de cero. Ello significa que $0.090kg$ tiene dos cifras significativas; $0.3005L$, cuatro; $0.00420$ min, tres, y así sucesivamente. $5$.

En cuanto a números que no incluyen el punto decimal, los ceros que están a la derecha (es decir, después del último dígito distinto de cero) podrían ser significativos, o no. Así, $400cm$ tendría una cifra significativa (el dígito $4$), dos ($40$) o tres ($400$). Es imposible armar cuál de esas opciones es la correcta sin más información. Sin embargo, con la notación científica se evita tal ambigüedad. En este caso particular es posible expresar el número $400$ como $4*10^2$ para considerar una cifra significativa; $4,0*10^2$ para dos cifras, o $4,00*10^2$ para tres cifras significativas

Figura 2: Balanza digital

Cifras significativas en los cálculos: Suma, resta, multiplicación y división

Suma y resta

El resultado se debe redondear después de sumar o restar, la respuesta no puede tener más dígitos a la derecha del punto decimal que los presentes en los números originales.

Multiplicación y división

El resultado se debe redondear para que sólo contenga tantas cifras significativas como las que haya en el número original de menos cifras significativas.

Por ejemplo, al multiplicar $7.485*8.61$, o cuando se divide $\frac{0.1642}{1.52}$, el resultado se debe expresar con tres cifras significativas.

Cálculos en los cuales intervienen números exactos e inexactos

Algunos valores numéricos son exactos con tantas cifras significativas como sea necesario, por definición. En esta categoría se incluyen los equivalentes numéricos de prefijos que se utilizan en definiciones de unidades. Por ejemplo, $1cm=0,01m$ por definición, y el factor de conversión de unidades, $1*10^{-2}mcm$, es exacto con una cantidad infinita de cifras significativas.Hay otros valores numéricos que son exactos por definición. Por ejemplo, se estableció la escala de masas atómicas fijando la masa de un átomo de carbono doce $812c)$ cómo $12.0000u$.

Análisis dimensional en la resolución de problemas

Aplicación del método del factor unitario en la resolución de problemas

El procedimiento que se usa para la conversión entre unidades en la resolución de problemas químicos se llama análisis dimensional, método del factor explicitado o también conocido como método del factor unitario. Es importante porque para que las respuestas tengan sentido no solo es necesario el correcto uso de las cifras significativas, también deben expresarse en las unidades requeridas. Los factores unitarios pueden constituirse con dos términos cualesquiera que describen “cantidades” iguales o equivalentes de lo que estemos considerando. Por ejemplo, por definición, 1\;pie es exactamente igual a $12$ pulgadas.

$\cancel{Unidaddada}*\frac{unidaddeseada}{\cancel{unidaddada}}=unidaddeseada$

A continuación se presenta un ejemplo de conversión entre unidades:

$N\acute{u}merodecent\acute{ı}metros=(8,50\cancel{in})\frac{2.54cm}{1\cancel{in}}=21,6cm$

La unidad de pulgadas $(1in)$ en el denominador del factor de conversión elimina la unidad de pulgadas del dato proporcionado $(8.50in)$. La unidad de centímetros en el numerador del factor de conversión se vuelve la unidad de la respuesta final. Debido a que el numerador y el denominador de un factor de conversión son iguales numéricamente, más no en las unidades, (ya que representan el mismo valor pero en diferentes unidades) multiplicar cualquier cantidad por un factor de conversión equivale a multiplicarla por el número $1$.