Principales conjuntos numéricos/Números complejos

$j=\sqrt{-1}$

Modulo de un número complejo: z

Llamemos z a un número complejo formado por una parte real y una imaginaria

El conjugado de un número se define como aquel que tiene la misma parte real que z, pero siendo la parte imaginaria de signo contrario: $\underset{\begin{array}{c}\text{Dos nomenclaturas}\\ \text{para denominar al }\\ \text{conjugado}\end{array}}{\underbrace{z^{*}=\bar{z}}}=x-j\cdot y$

A esta forma se la denomina forma binómica.

el modulo de una señal se define como la multiplicación de ese número por su conjugado

$\left|z\right|=z\cdot z^{*}=\sqrt{(x+jy)\cdot (x-jy})=\sqrt{x^2-jxy+jxy-j^2{y}^2}\underset{j^2=-1}{\overset{}{\to }}\sqrt{x^2+y^2}$

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica en vez de con la forma binómica:

$\begin{array}{cc}& z=\underset{\text{forma binomica}}{\underbrace{x+j\cdot y}}=\underset{\text{forma trigonometrica}}{\underbrace{\rho (\cos \theta +j\cdot \sin \theta )}}=\underset{\text{forma exponencial}}{\underbrace{\rho \cdot e^{j\theta }}}\\ & \{\begin{array}{cc}& x=\rho \cdot \cos \theta \\ & y=\rho \cdot \sin \theta \\ \end{array}\\ & \rho =\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}\underset{\text{debido a}}{\overset{}{\to }}\sqrt{{(\rho \cos \theta )}^2+{(\rho \sin \theta )}^2}=\sqrt{{\rho }^2\underset{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1}{\underbrace{({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}}}=\rho \\ & \tan \theta =\frac{y}{x}\\ & Ej.\\ & z=-1+j\to \rho =\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}\\ & \tan \theta =\frac{1}{-1}=-1\to \theta =\arctan (-1)={}^{3\pi }╱{}_4,{}^{11\pi }╱{}_4...\\ & \text{El argumento de z se denomina }\arg (z)=\theta +2n\pi ;n\in \mathbb{N}\\ & \arg (z)\in [-\pi ,\pi ]\\ \end{array}$

No se ha demostrado la igualdad correspondiente a:

$e^{j\theta }=\cos \theta +j\cdot \sin \theta$ Llamada fórmula de Euler, y será demostrada mas adelante, junto con la serie de Taylor. De la misma manera, y usando las PROPIEDADES DE LOS SENOIDES, tenemos:

$e^{-j\theta }=\underset{\text{func}\text{. par}}{\underbrace{\cos (-\theta )}}+j\cdot \underset{\text{func}\text{. impar}}{\underbrace{\sin (-\theta )}}=\cos \theta -j\sin \theta$

Periodicidad de la exponencial compleja

Por la relación de la exponencial compleja y las senoides vista anteriormente, podemos deducir que:

$\begin{array}{cc}& z=x+j\cdot y\\ & e^{z+j2\pi }=e^z\cdot e^{j2\pi }\underset{\text{Euler}}{\overset{}{\to }}{e}^z(\underset{1}{\underbrace{\cos (2\pi )}}+j\underset{0}{\underbrace{\sin (2\pi )}})=e^z\\ & e^{j2\pi }=1\\ & \text{Periodica }T=2\pi jf(z+T)=f(z),z\in ℂ\\ \end{array}$

La raíz de un número complejo

$\begin{array}{cc}& \sqrt[n]{z}=w\leftrightarrow w^n=z\\ & Ej:\sqrt[4]{1+j}=w\leftrightarrow w^4=1+j=\underset{\text{Abs()}}{\underbrace{\sqrt{2}}}{e}^{j\underset{\text{Arg()}}{\underbrace{{}^{\pi }╱{}_4}}}\\ & \text{Poniendo w en forma polar }w=\rho \cdot e^{j\theta }\to w^4={\rho }^4\cdot (e^{j\theta }{)}^4={\rho }^4\cdot e^{j4\theta }\\ & {\rho }^4=\sqrt{2}\to \rho =\sqrt[4]{\sqrt{2}}=\sqrt[8]{2}\\ & 4\theta ={}^{\pi }╱{}_4+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\to \theta =\frac{{}^{\pi }╱{}_4+2k\pi }{4}={}^{\pi }╱{}_{16}+{}^{k\pi }╱{}_2\\ & k=0\to \theta ={}^{\pi }╱{}_{16}\\ & k=1\to \theta ={}^{\pi }╱{}_{16}+{}^{\pi }╱{}_2\\ & k=2\to \theta ={}^{\pi }╱{}_{16}+\pi \\ & k=3\to \theta ={}^{\pi }╱{}_{16}+{}^{3\pi }╱{}_4\\ & k=4\to \theta ={}^{\pi }╱{}_{16}+2\pi \text{ se repite}\\ & \sqrt[n]{\rho \cdot e^{j\theta }}=\sqrt[n]{\rho }\cdot e^{j\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)};k=0,1,2...(n-1)\\ \end{array}$