Números naturales/Números primos y compuestos
Plantilla:Título lección Los números primos son todos los números naturales mayores a 1 que tienen exactamente dos factores: la unidad y ellos mismos.
Los números que tienen más de 2 divisores se llaman números compuestos.
Los números 0 y 1
El no se considera primo porque no es factor de sí mismo. Tampoco se considera un número compuesto porque no se puede expresar como una multiplicación de factores primos.
El número no se considera ni primo ni compuesto porque tiene solamente un divisor: el que es a la vez la unidad y él mismo.
Criba de Eratóstenes
Para encontrar todos los números primos menores a un número se usa un procedimiento atribuido al matemático griego Eratóstenes. El procedimiento se llama Criba de Eratóstenes, es el único método conocido para calcular listas de números primos y consiste en tachar progresivamente todos los números compuestos para que al final queden sin tachar solamente los números primos.
Teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética es un hecho importante en las matemáticas. Nos indica que todos los números compuestos pueden expresarse como una multiplicación de factores primos diferentes de 1. Según el teorema esa lista de factores primos es única para cada número compuesto y se le llama factorización completa del número.
Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, el orden de los factores no es importante al calcular la factorización completa de un número.
Cuando un factor primo aparece varias veces en la factorización completa de un número, se puede escribir usando potencias.
Por convención, decimos que la factorización completa de un número primo es él mismo. Por ejemplo, la factorización completa del número es el número .
Métodos de factorización
La factorización completa de un número natural se puede calcular utilizando diagramas de árbol o realizando divisiones entre factores primos sucesivos.
Mediante diagramas de árbol
La factorización mediante diagramas de árbol consiste en identificar dos o más números que multiplicados entre sí den el número original, sin importar si son primos o no. Luego se anotan bajo el número inicial como si fueran ramas en un árbol y se procede de la misma manera para cada uno de ellos.
Si la rama ya es un número primo, se anota el mismo número. Si es un número compuesto, se anotan dos números que multiplicados den ese número. El proceso se repite hasta que todas las ramas estén compuestas de números primos. Al llegar a este punto, identificamos la factorización completa del número original anotando todos los números de los que no salen ramas.
Los diagramas de árbol no siempre son un método cómodo y conveniente para encontrar la factorización completa de un número. Frecuentemente es difícil encontrar un primer producto de dos números que sea igual al número original para iniciar el proceso.
Mediante divisiones por primos sucesivos
El método de divisiones por primos sucesivos es más cómodo y fácil de usar. Consiste en una sucesión de divisiones enteras por números primos hasta llegar al número 1. En cada paso se utiliza el resultado de la división anterior como dividendo y se anota el divisor utilizado.
Por comodidad, los resultados parciales y los divisores se suelen anotar verticalmente en dos columnas, uno junto al otro. Por ejemplo, para calcular la factorización completa del número procedemos de la siguiente manera:
| Plantilla:Recuadro | ||
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 | ||
El procedimiento es el mismo independientemente del número que deseamos factorizar. A continuación podemos ver su aplicación con el número 175:
| Plantilla:Recuadro | ||
| 175 | 5 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 | ||
Resumen de la lección
- Los números primos son todos los números naturales mayores a 1 que tienen exactamente dos factores.
- Los números compuestos tienen tres o más divisores y se pueden expresar como una multiplicación de números primos.
- Los números 1 y 0 son casos especiales y no se consideran ni primos ni compuestos.
- La criba de Eratóstenes permite encontrar todos los números primos menos a un número n.
- Todos los números compuestos pueden expresarse como una multiplicación de factores primos diferentes de 1.
- La factorización completa de un número es única.
- La factorización completa de un número primo es él mismo.
- La factorización completa de un número natural se puede calcular utilizando diagramas de árbol o divisiones sucesivas entre factores primos.
Términos clave
- Número primo
- Número compuesto
- Criba de Eratóstenes
- Eratóstenes
- Factor primo
- Factorización de enteros
- Teorema fundamental de la aritmética
Lecturas adicionales
- Matemáticas/Aritmética/Números primos
- Números y Operaciones/Números Naturales/Números Primos y Compuestos