Números naturales/La división

Plantilla:Título lección La división es la operación inversa a la multiplicación. Nos dice cuántas veces una cantidad llamada dividendo contiene a otra cantidad llamada divisor. La cantidad resultante de la operación se llama cociente.

También la podemos entender como la operación mediante la cual distribuimos una cantidad (el divisor) en determinado número (el dividendo) de partes iguales.

Se denota con el símbolo $÷$, mediante una barra inclinada ($/$) o en forma de fracción ($\frac{a}{b}$) y tiene la siguiente forma:

Por ser la operación inversa a la multiplicación, podemos definirla en términos de esta última como el número (cociente) por el que debemos multiplicar el divisor para obtener el dividendo. Por ejemplo:

En la división exacta, la igualdad $a÷b=c$ se cumple porque tenemos suficientes unidades en el dividendo (a) para distribuirlas en una cantidad de grupos igual al divisor (d), todos de tamaño igual al cociente (c). Los siguientes son ejemplos de divisiones exactas:

En la división inexacta no se cumple la igualdad porque no existe un número natural que nos permita repartir las unidades del dividendo en una cantidad de grupos iguales. Cuando lo intentamos nos quedan unidades sobrantes. A esas unidades sobrantes las llamamos residuo de la operación.

En la siguiente tabla podemos ver cómo no es posible dividir el número $23$ en $5$ grupos diferentes. En este caso nos faltarían dos unidades (en color amarillo) para obtener 5 grupos iguales de 5 unidades o nos sobrarían 3 unidades (en color naranja) si intentamos agruparlas en 4 grupos iguales de 5 unidades.

Primer grupo (1):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Segundo grupo (2):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Tercer grupo (3):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Cuarto grupo (4):	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
Quinto grupo (5):	$X$	$X$	$X$

Para resolver este tipo de operaciones en el conjunto de los números naturales, realizamos una división inexacta distribuyendo el dividendo en tantos grupos completos como sea posible y sumamos las unidades sobrantes para restaurar la igualdad. En estos casos la operación toma la siguiente forma:

En el caso del ejemplo anterior, al dividir 23 entre 5 obtenemos un cociente de 4 unidades (grupos completos) y un residuo de 3 unidades (las unidades restantes):

$23=(5\times 4)+3$

Otros ejemplos de divisiones inexactas son:

Cuando una división es exacta, decimos que tiene un residuo igual a cero ($0$). También podemos decir que si el residuo de una división es $0$, entonces la división es exacta.

La división por 0

Dividir un número por cero ($a÷0=?$) es equivalente a encontrar un número que multiplicado por $0$ nos de el dividendo ($0\times ?=a$). Pero debido a que el $0$ es el elemento absorbente en la multiplicación, el resultado de multiplicar por cero siempre es cero. Por eso no existe ningún número que multiplicado por cero nos de un resultado diferente de cero.

La división $0÷0$ tampoco está definida porque al escribir $0÷0=?$ como multiplicación obtenemos $0\times ?=0$. Al reemplazar $?$ con los primeros números naturales obtenemos:

El signo $?$ puede tomar cualquier valor (0, 1, 2, 3, 4, ...), por lo que es imposible asignarle un resultado único a la división $0÷0$ y por eso se dice que no está definida.

Propiedades

Cómo vimos en la sección sobre la división inexacta, no siempre que tratemos de dividir un número natural por otro vamos a obtener un número natural.

Si no es posible que todos los grupos indicados por el divisor reciban la misma cantidad de unidades, tenemos una división inexacta y nos queda un residuo. Si el divisor es mayor al dividendo, decimos que el resultado de la operación es $0$ y que el residuo es igual al dividendo.

Por ejemplo, si tratamos de calcular $7÷18$ debemos recurrir a una división inexacta y decir que el resultado es $0$ con un residuo de $7$ unidades.

• No es conmutativa

No es posible intercambiar los valores del dividendo y el divisor sin alterar el resultado de la división. Esta propiedad se representa matemáticamente de la siguiente forma:

$a÷b\ne b÷a$

Si tenemos los números $16$ y $2$ podemos dividir el primero por el segundo y obtenemos $8$: $16÷2=8$. Sin embargo, no obtenemos el mismos resultado si intercambiamos sus posiciones.

Según vimos en la sección anterior, la operación $2÷16=?$ no está definida en el conjunto de los números naturales. Debemos recurrir a una división inexacta y decir que el resultado es $0$ con un residuo de $2$ unidades.

• No es asociativa

Si deseamos dividir tres números en la misma operación, vemos que no obtenemos el mismo resultado si asociamos los dos primeros números y que si asociamos los dos últimos números.

$(a÷b)÷c\ne a÷(b÷c)$

Plantilla:Comentario

Por ejemplo:

• No tiene elemento neutro

El número $1$ se comporta como elemento neutro para la división si se encuentra en la posición del divisor. Pero no funciona como elemento neutro si se encuentra en la posición del dividendo. Por ejemplo:

Para que un número se pueda considerar neutro con respecto a una operación es necesario que lo sea en ambas posiciones: cuando se ubica a la derecha y cuando se ubica a la izquierda. Esa condición no se cumple en el caso de la división por lo que decimos que esta operación no tiene un elemento neutro en $\mathbb{N}$.

Distributividad con respecto a la suma y la resta

Esta propiedad se puede expresar para tres números naturales ( $a$, $b$ y $c$) mediante la siguiente fórmula:

$(a+b)÷c=(a÷c)+(b÷c)$

O con notación de fracciones de la siguiente forma:

$\frac{(a+b)}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

Por ejemplo:

También se aplica en el caso de las restas:

$(a-b)÷c=(a÷c)-(b÷c)$

Por ejemplo:

Es importante tener en cuenta que debido a que la división no es una operación conmutativa, la propiedad distributiva aplica solamente por la derecha. La igualdad no se cumple si la aplicamos por la izquierda:

$c÷(a+b)\ne (c÷a)+(c÷b)$

Por ejemplo:

Resumen de la lección

• La división es la operación inversa a la multiplicación.
• Su objetivo es averiguar la cantidad de veces que una cantidad llamada dividendo contiene a otra cantidad llamada divisor.
• El resultado de la división se llama cociente.
• La división puede ser exacta o inexacta.
• El residuo son las unidades sobrantes al realizar una división inexacta.
• La división donde el divisor es 0 no tiene solución en el conjunto de los números naturales.
• La división no es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales.
• La división no es una operación conmutativa en el conjunto de los números naturales.
• La división no es una operación asociativa en el conjunto de los números naturales.
• La división no tiene elemento neutro.
• La división es distributiva solo por la derecha con respecto a la suma y la resta.

Términos clave

• División
• Asociatividad
• Cerradura
• Conmutatividad
• Distributividad
• Elemento neutro
• División euclídea
• División por cero
• Residuo

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
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Plantilla:Navegación