Números naturales/La resta

Plantilla:Título lección La resta o sustracción es la operación inversa de la suma y nos permite calcular la diferencia entre dos números naturales, llamados minuendo y sustraendo. Se denota mediante el símbolo $-$ y tiene la siguiente estructura:

Por ser la operación inversa a la suma, podemos definirla en términos de esta última como el número (diferencia) que debemos sumar al sustraendo para obtener el minuendo. Por ejemplo:

Plantilla:Recuadro1976-2098

Propiedades

• No es cerrada

Esto quiere decir el número $c$ en la operación $a-b=c$ pertenece al conjunto de los números naturales ($c\in \mathbb{N}$) solamente si $a\ge b$. Si el sustraendo es mayor al minuendo ($b>a$), la operación no tiene solución en el conjunto de los números naturales. Por ejemplo:

• No es conmutativa

Lo anterior significa que el resultado de la operación cambiará si se invierte la posición del minuendo y el sustraendo y se visualiza mediante la siguiente fórmula:

$a-b\ne b-a$

De hecho, en el conjunto de los números naturales, solo una de las dos operaciones está definida. Por ejemplo:

• No es asociativa

Debido a esto, no es posible cambiar el orden en el que se realizan restas sucesivas sin alterar el resultado final de la operación. Es decir:

$(a-b)-c\ne a-(b-c)$

Plantilla:Comentario

Por ejemplo:

• No tiene elemento neutro

El número $0$ se comporta como elemento neutro en la sustracción si se ubica en el sustraendo.

$a-0=a$

Sin embargo, ese no es el caso cuando se ubica en el minuendo. Dado $a\ne 0$, la resta siempre estará indefinida en el conjunto de los números naturales porque el sustraendo es mayor al minuendo (el $0$ es el menor elemento de $\mathbb{N}$).

$0-a\notin \mathbb{N}$

Para que un número se pueda considerar neutro con respecto a una operación es necesario que lo sea en ambas posiciones. Esa condición no se cumple en el caso de la resta por lo que se dice que la resta no tiene un elemento neutro en $\mathbb{N}$. Por ejemplo:

Distributividad de la multiplicación con respecto a la resta

Esta propiedad se mencionó anteriormente en la lección sobre la multiplicación y se puede expresar para tres números naturales ($a$, $b$ y $c$) mediante la siguiente fórmula:

$a\times (b-c)=(a\times b)-(a\times c)$

Al igual que en el caso de la suma, la distributividad se cumple tanto por la derecha como por la izquierda gracias a la conmutatividad de la multiplicación:

$a\times (b-c)=(a\times b)-(a\times c)$

$(b-c)\times a=(b\times a)-(c\times a)$

El el siguiente ejemplo podemos ver la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta en acción:

Al igual que en el caso de la suma, la distributividad se aplica tanto por la izquierda como por la derecha.

Resumen de la lección

• La resta es la operación inversa de la suma por lo mismo su número neutro es el mismo.
• La resta no es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales.
• La resta no es una operación conmutativa en el conjunto de los números naturales.
• La resta no es una operación asociativa en el conjunto de los números naturales.
• La resta en N no tiene elemento neutro.
• La resta es distributiva tanto por la derecha como por la izquierda.

Términos clave

• Resta
• Asociatividad
• Cerradura
• Conmutatividad
• Distributividad
• Elemento neutro

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
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