Números naturales/La multiplicación

Plantilla:Título lección La multiplicación o producto de dos números naturales es una forma abreviada de expresar la suma repetida de un número. Si $a$ y $b$ son números naturales, su multiplicación se define como la suma repetida del número $a$ una cantidad de veces igual al número $b$:

La operación se denota con el símbolo $\times$ y tiene la siguiente forma:

El «multiplicando» y el «multiplicador» también reciben el nombre de «factores».

Propiedades

• Cerrada

Al igual que en el caso de la suma, el resultado o producto de una multiplicación será otro número natural siempre que los factores pertenezcan a ese conjunto.

Por ejemplo:

• Conmutativa

El resultado de multiplicar dos números naturales a y b ($a\in \mathbb{N}$ y $b\in \mathbb{N}$) será el mismo sin importar si colocamos el número $a$ primero y el número $b$ después o si invertimos el orden. Esta propiedad se puede expresar de la siguiente manera usando una fórmula:

$a\times b=b\times a$

Por ejemplo:

• Asociativa

Al igual que la suma, la multiplicación es una operación binaria (solo intervienen dos factores). Para multiplicar más de dos factores es necesario asociarlos consecutivamente para realizar la operación mediante varias multiplicaciones de dos factores.

La propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que sin importar el orden en que realicemos las multiplicaciones parciales, el resultado final de la operación no cambiará. Esta propiedad se puede describir mediante una fórmula de la siguiente manera:

Por ejemplo:

• Elemento neutro

Esto quiere decir que si $a$ es un número natural y lo multiplicamos por el número $1$, el resultado de la operación será igual al número original ($a$).

Por ejemplo:

• Elemento absorbente

Por esta propiedad, el producto de las multiplicaciones de números naturales es igual a $0$ si al menos uno de los factores es igual a $0$.

Por ejemplo:

Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

Esta propiedad se puede expresar para tres números naturales ($a$, $b$ y $c$) mediante la siguiente fórmula:

$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

Plantilla:Comentario

Por ejemplo:

Es importante tener en cuenta que la distributividad no es una propiedad específica de la multiplicación. Está definida con respecto a la suma y a la resta de números naturales.

También es importante observar que gracias a la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos aplicar la ditributividad tanto por la derecha como por la izquierda de la suma.

Por ejemplo:

Este ejemplo nos muestra que la distributividad se cumple tanto por la derecha como por la izquierda:

$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

$(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)$

Resumen de la lección

• La multiplicación es una forma abreviada de expresar la suma repetida de un número.
• La multiplicación es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales.
• La multiplicación es una operación conmutativa porque el orden de los factores no altera el producto.
• El 1 es el elemento neutro multiplicativo en el conjunto de los números naturales.
• El 0 es el elemento absorbente en la multiplicación de números naturales.
• La multiplicación es una operación asociativa en el conjunto de los números naturales.
• La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y la resta en el conjunto de los números naturales.

Términos clave

• Multiplicación
• Asociatividad
• Cerradura
• Conmutatividad
• Elemento neutro
• Elemento absorbente
• Distributividad

Bibliografía

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