Mecánica/Descripción del movimiento

Sistema de referencia

Un sistema o marco de referencia es un sistema de coordenadas que sirve para ubicar la posición de un objeto respecto a un punto de referencia ubicado en el origen, de ahí el nombre.

En un sistema de referencia se debe eligir el origen de manera que resulte beneficioso para el tratamiento del problema que en que se esté trabajando. Por ejemplo, cuando se observa el movimiento de los planetas es sencillo tomar el origen en el Sol, mientras que para observar el movimiento de la Luna es más conveniente ubicar el origen en la Tierra.

Dados dos sistemas de referencia podemos convertir en primero en el segundo mediante una serie de rotaciones y traslaciones, así cualquier sistema de referencia puede ser descrito por otro después de estas operaciones, lo que así fácil el cambio de sistemas de referencia si es necesario.

Desplazamiento

Por sencillez iniciaremos el estudio del movimiento cuando este se da sobre una sola dirección, que por simplicidad supondremos que es el eje de las X. A este movimiento le llamaremos movimiento rectilíneo ya que se da solamente en una línea recta.

Cuando una partícula se ubica en una posición $x_1$ en el tiempo $t_1$, y pasa a la posición $x_2$ en el tiempo $t_2$, se dice que se ha desplazado de $x_1$ a $x_2$.

Aceleración

Diariamente escuchamos los conceptos de rapidez y aceleración como velocidad y aceleración solamente. Pero en física la velocidad y la aceleración son vectores, por lo que es claro y necesario su diferenciación y entendimiento. De aquí en adelante (más por costumbre que por ganas) llamaremos tanto a la rapidez y a la aceleración solamente como velocidad y aceleración (a menos que se especifique lo contrario).

Si cubre una masa puntual en un punto P en un tiempo Δt el tramo Δs, se llamara al cociente Δs / Δt su velocidad media vm en el intervalo de tiempo Δt o en el tramo Δs.

$v_m=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$

Se observa que Δs aquí no es el desplazamiento, sino la longitud de arco: es el camino recorrido.

La llamamos velocidad media porque la masa puntual no se mueve por el trayecto uniforme trazado. O sea estamos tomando sólo los puntos final e inicial para hacer los cálculos.

Hagamos el trayecto como Δs (de manera diferencial, o sea infinitesimal), al igual que al intervalo de tiempo Δt. Para Δs cercano a cero (o Δt cercano a cero, que tienda a cero) el cociente Δs/Δt como valor al límite, nos da la velocidad v de la masa puntual en el punto P, así:

$v=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}\equiv \underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$

En el análisis se puede calcular ese valor al límite también como ds/dt. Así:

$v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

Tomemos luego una masa puntual que tiene en el punto P y en el tiempo t la velocidad v; y en el tiempo t + Δt y la velocidad v + Δv. Podemos calcular el cociente Δv/Δt como la aceleración media am de la masa puntual en el intervalo de tiempo Δt:

$a_m=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$

Para Δt cercano a cero se aspira a que ese cociente tenga un valor límite, la aceleración a de la masa puntual para el tiempo t.

$a=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$

Para ese valor límite, se puede simplificar:

$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

Es el camino s descrito como una función analítica del tiempo t, así s=s(t), así es la función de velocidad v(t) la primera derivada de la función s(t) con respecto al tiempo, la función de aceleración a(t) es la segunda derivada. La derivación con respecto al tiempo se puede también escribir como un punto sobre las variables.

$v(t)=\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}=\dot{s}(t);a(t)=\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}=\dot{v}(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}\equiv \ddot{s}(t)$

En sentido contrario se puede encontrar la función de velocidad y la función de la trayectoria a través de la integración:

$v(t)=\int a(t)\mathrm{d}t;s(t)=\int v(t)\mathrm{d}t=\iint a(t)\mathrm{d}t\mathrm{d}t.$

En las integrales indefinidas de debe aumentar una constante que puede ser conocida con las condiciones iniciales del problema.

Ejemplo: En caída libre una masa puntual se encuentra con una aceleración constante g. Esto es, cuando el tiempo t=0 verticalmente de arriba hacia abajo, tiene la velocidad v0 y sus coordenadas s0:

$v(t)=g\int \mathrm{d}t=gt+v_0;s(t)=\int \left(gt+v_0\right)\mathrm{d}t=\frac{g}{2}{t}^2+v_{0}t+s_0$