Cálculo y análisis matemático/Valor absoluto y sus propiedades/Propiedades

Propiedades

La siguiente es una lista de propiedades de la función valor absoluto, algunas contiene una pequeña demostración intuitiva y las demás solo breves comentarios.

No negatividad

$|a|\ge 0$

De la propia definición de valor absoluto, se observa que al representar una distancia debe ser obligatoriamente un valor positivo.

Simetría

$|-a|=|a|$

El valor absoluto de x es igual al valor absoluto de -x, ya que ambos se encuentran a la misma distancia del 0, pero del lado opuesto de la recta y por la no negatividad, ambos son positivos.

Propiedad multiplicativa

$|ab|=|a||b|$

El producto de dos valores absolutos es positivo. Ya que la multiplicación de los posibles valores de los factores solo puede cambiar de signo (por la simetría) y que la función valor absoluto termina entregando el valor positivo del número, el multiplicar primero y luego tomar valor absoluto es lo mismo que tomar el valor absoluto de cada factor y después multiplicar. Ambos resultados son positivos.

Definición positiva

$|a|=0⟺a=0$

El único número que se encuentra a una distancia en la posición 0 de la recta numérica, es el 0 mismo.

Identidad de indiscernibles

$|a-b|=0⟺a=b$

De la propiedad anterior, el valor absoluto de un número solo es 0, si es el propio 0. En este caso y usando la propiedad anterior se puede desarrollar como: $a-b=0⟺a=b$.

Preservación de la división

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}(sib\ne 0)$

Tomando b como el inverso multiplicativo de cualquier número y usando la propiedad multiplicativa llegamos a esta preservación.