Transformación lineal de intervalos

La transformación lineal de intervalos es una aplicación lineal típica con usos variados como proyección de intervalos o planos. Por ejemplo, la transformación que lleva de un formato de video DVD con resolución de 720x570 pixeles a uno VCD con resolución de 352×240.

Definición

Transformación lineal del intervalo $[e_1,e_2]$ al intervalo $[s_1,s_2]$

Sea el intervalo de entrada:

$E=[e_1,e_2]$

Y el intervalo de salida:

$S=[s_1,s_2]$

estos intervalos en $ℝ$. La transformación lineal:

$T(x):[e_1,e_2]\to [s_1,s_2];\mathrm{\forall }x\in ℝ$

esta dada por:

$s_1=m{e}_1+b$ ---- eq(1)

$s_2=m{e}_2+b$ ---- eq(2)

donde $m$ y $b$ son los parámetros de la transformación lineal

$T(x)=mx+b;\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

Resolviendo para eq(1) y eq(2):

$b=s_1-m{e}_1;b=s_2-m{e}_2$

$s_1-m{e}_1=s_2-m{e}_2$

$s_1-s_2=m(e_1-e_2)$

$m=\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}$

Función lineal de transformación

sustituyendo $m$ en eq(1):

$s_1=\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}{e}_1+b\Rightarrow b=s_1-\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}{e}_1$

es decir:

$T(x)=\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}x+[s_1-\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}{e}_1]$

simplificando:

$T(x)=\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}(x-e_1)+s_1$

Ejemplo

Como ejemplo de esta transformación, supongamos que un programador de codecs desea transformar de un formato e video DVD a uno VCD, su problema consiste, entre otras cosas, en proyectar el intervalo horizontal [1,720] a otro intervalos horizontal [1,352]; para ello usa la transformación lineal $T_h(x)$ descrita arriba, de la siguiente manera:

$e_1=1$

$e_2=720$

$s_1=1$

$s_2=352;$

Sustituyendo en la expresión:

$T(x)=\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}(x-e_1)+s_1$

Obtendremos:

$T_h(x)=\frac{(1-352)}{(1-720)}(x-1)+1$

Simplificando las fracciones tendremos:

$T_h(x)=\frac{351x+368}{719}$

Con lo que para cada x del intervalo [1,720] obtendremos un T(x) correspondiente del intervalo [1,352].

De igual manera para la transformación vertical $T_v(x)$

$e_1=1$

$e_2=570$

$s_1=240$

$s_2=1$

Partiendo de la relación:

$T(x)=\frac{(s_1-s_2)}{(e_1-e_2)}(x-e_1)+s_1$

y sustituyendo cada término, tendremos:

$T_v(x)=\frac{(240-1)}{(1-570)}(x-1)+240$

Operando la expresión, tendremos:

$T_v(x)=\frac{-239x+136799}{569}$

En este caso para x= 1, tendremos que T(x)= 240.

Enlaces

• Álgebra lineal por Elmer G. Wiens (en inglés)
• Álgebra Lineal: Conceptos Básicos
• Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto