Función cuadrática

De vital importancia en matemáticas y física es la función cuadrática o de segundo grado.

Una función polinómica de grado dos o función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

Gráficas de funciones cuadráticas.

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

$y=f(x)$

esto es:

$y=a{x}^2+bx+c$

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Estudio de la función

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y=f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$

lo que resulta:

$y=f(0)=c$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0:

$a{x}^2+bx+c=0$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

donde:

$b^2-4ac$

se le llama discriminante, Δ:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

según el signo del discriminante podemos distinguir:

• Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: $x_1$ y $x_2$.

• Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en $x_1$, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

• Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Forma factorizada

Todo función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

se puede factorizar como:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de $x^2$ sería siempre 1. $x_1$ y $x_2$ representan las raíces de $f(x)$. En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces $x_1=x_2$ por lo que podríamos escribir:

$f(x)=a(x-x_1{)}^2$

En este caso a $x_1$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x)=a(x-h{)}^2+k$

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:

• Dado:

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

• Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

$f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

• Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

$f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})+c-\frac{b^2}{4a}$

• Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

$f(x)=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+c-\frac{b^2}{4a}$

• sustituyendo:

$h=\frac{-b}{2a},k=c-\frac{b^2}{4a}$

• la expresión queda:

$f(x)=a(x-h{)}^2+k$

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

$y=a{x}^2+bx+c$

calculamos su derivada respecto a x:

$\frac{dy}{dx}=2ax+b$

que si la igualamos a cero, tenemos:

$2ax+b=0$

donde x valdrá:

$x=\frac{-b}{2a}$

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo, mínimo o relativo de la función.

Determinar la ecuación conocidos tres puntos

Partiendo de la forma de la ecuación:

$y=a{x}^2+bx+c$

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$

se cumplira que:

$\{\begin{array}{c}{y}_1=a{x}_1^2+b{x}_1+c\\ y_2=a{x}_2^2+b{x}_2+c\\ y_3=a{x}_3^2+b{x}_3+c\end{array}$

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:

$\{\begin{array}{c}a{x}_1^2+b{x}_1+c=y_1\\ a{x}_2^2+b{x}_2+c=y_2\\ a{x}_3^2+b{x}_3+c=y_3\end{array}$

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:

$a=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{y}_1& x_1& 1\\ y_2& x_2& 1\\ y_3& x_3& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2& x_1& 1\\ x_2^2& x_2& 1\\ x_3^2& x_3& 1\end{array}\right|}$

$,b=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2& y_1& 1\\ x_2^2& y_2& 1\\ x_3^2& y_3& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2& x_1& 1\\ x_2^2& x_2& 1\\ x_3^2& x_3& 1\end{array}\right|}$

$,c=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2& x_1& y_1\\ x_2^2& x_2& y_2\\ x_3^2& x_3& y_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2& x_1& 1\\ x_2^2& x_2& 1\\ x_3^2& x_3& 1\end{array}\right|}$