Campo eléctrico

Introducción: Fuerza y carga eléctrica

Si definimos la fuerza $F$ entre dos cargas $Q_1$ y $Q_2$, separadas por una distancia $d$, entonces:

$F=k\frac{Q_1{Q}_2}{d^2}[N]$

Donde la fuerza se expresa en $N$ (Newtons)

Dado un sistema de coordenadas donde $r_1$ es el vector de posición absoluto de la carga $Q_1$, y $r_2$ el vector de posición absoluto de la carga $Q_2$, podemos expresar la fuerza de forma vectorial:

$\overrightarrow{F}=k\frac{Q_1{Q}_2}{d^2}{\overrightarrow{u}}_{Q_1-Q_2}$

${\overrightarrow{u}}_{Q_1-Q_2}$ es un vector unitario que pasa por las cargas $Q_1$ y $Q_2$ en el sentido indicado por la ley de Coulomb, pero teniendo en cuenta el principio de acción y reacción de Newton.

Para calcular directamente las fuerzas que actúan sobre cada partícula:

${\overrightarrow{F}}_A=k\frac{Q_1{Q}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2{|}^3}({\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2)$

${\overrightarrow{F}}_B=k\frac{Q_1{Q}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2{|}^3}({\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1)$

Definición de campo eléctrico

Se define el campo eléctrico en un punto como la fuerza eléctrica que experimenta una carga de prueba, por unidad de carga, en dicho punto.

$\overrightarrow{E}=\frac{{\overrightarrow{F}}_0}{q_0}\left[\frac{N}{C}\right]$

Si la carga que produce el campo eléctrico es positiva, el campo va en dirección radialmente hacia afuera y si la carga es negativa, el campo va en dirección radialmente hacia adentro.

Principio de superposición de campos eléctricos: El campo eléctrico total en determinado punto es la suma vectorial de los campos en dicho punto debidos a cada carga puntual en la distribución de carga.

$\overrightarrow{E}=\frac{{\overrightarrow{F}}_0}{q_0}={\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2+{\overrightarrow{E}}_3+...$

El campo eléctrico es una abstracción para entender qué fuerzas actúan sobre una partícula $Q_P$ sometida a la interacción de un conjunto de n cargas $\sum _{i=1}^n{Q}_i$.

La fuerza $\overrightarrow{F}$ que actúa sobre una partícula $Q_p$ sometida a un campo eléctrico $\overrightarrow{E}$, se calcula como:

$\overrightarrow{F}=Q_p\overrightarrow{E}[N]$

Al módulo del vector de campo $\overrightarrow{E}$ que actúa sobre un punto concreto del espacio se le conoce como intensidad de campo eléctrico.

La expresión de campo eléctrico producido por un conjunto de $n$ cargas $Q_i$ sobre un punto $P$ sería:

$\overrightarrow{E}=k\sum _{i=1}^n\frac{Q_i({\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_i)}{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_i{|}^3}\left[\frac{N}{C}\right]$

Distribución de carga a lo largo de una línea de grosor despreciable

Se define la densidad lineal de carga Q distribuida uniformemente en una línea de grosor despreciable como:

$\lambda =\frac{dQ}{dL}$

Pudiéndose encontrar en ocasiones como:

$\lambda =\frac{Q}{L}$

Calculando el campo eléctrico de una línea infinita orientada en el eje y, a una distancia perpendicular   $r$  desde la línea en cualquier dirección, se define como:

$\overrightarrow{E}=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}r}\widehat{𝐫}$

donde   $\lambda$  es la densidad lineal de carga.  

Si la densidad lineal de carga es positiva, la dirección del campo es radial hacia afuera con respecto a la recta y si la densidad lineal de carga es negativa es radial hacia adentro.

Distribución de carga a lo largo de una superficie de grosor despreciable

Se define la densidad superficial de carga Q distribuida uniformemente en una superficie S de grosor despreciable como:

$\sigma =\frac{dQ}{dS}$

Pudiéndose encontrar en ocasiones como:

$\sigma =\frac{Q}{S}$

Distribución a lo largo de un volumen

Se define la densidad volumétrica de carga Q distribuida uniformemente en un volumen V como:

$\rho =\frac{dQ}{dV}$

Pudiéndose encontrar en ocasiones como:

$\rho =\frac{Q}{V}$

Campo eléctrico producido por una distribución uniforme de carga en un volumen

A partir de las expresiones anteriores, podemos calcular el campo que produce una carga Q distribuida uniformemente en un volumen V.

Si hemos definido $\rho$ como:

$\rho =\frac{dQ}{dV}$

Expresamos Q en función de $\rho$ como:

$dQ=\rho dV$

$Q=\underset{V}{\int }\rho dV$

Con lo cual el campo eléctrico ${\overrightarrow{E}}_P$ en un punto dado por el vector ${\overrightarrow{r}}_P$ queda definido como:

${\overrightarrow{E}}_P=k\underset{V}{\int }\frac{\rho dV}{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^2}({\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho })$

Desarrollamos la expresión:

$k\underset{V}{\int }\frac{\rho dV}{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^2}({\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho })=k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{P}dV-k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{\rho }dV$

Y puesto que:

$k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{\rho }dV$

Representa un vector nulo $\underset{V}{\int }{\overrightarrow{r}}_{P}dV$, no afecta a la expresión de campo:

${\overrightarrow{E}}_P=-k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{\rho }dV$

Líneas de campo eléctrico

Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo que es tangente a cualquier punto que esté en la dirección del vector del campo eléctrico en dicho punto.

El número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en dicha región, es decir, las líneas de campo estarán cercanas en donde el campo sea intenso y separadas cuando sea débil.

Las líneas de campo deben empezar en una carga positiva y terminar en una negativa, cuando hay exceso de carga, las líneas empezarán o terminarán en el infinito. Dos líneas de campo no se pueden cruzar.

Flujo eléctrico

El flujo eléctrico $\varphi$ es la cantidad de campo eléctrico E que incide en una superficie S con un área A.

Su expresión más general se escribe como:

$\mathrm{\Phi }=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{A}=EAcos\theta$

Y se expresa en $\frac{N{m}^2}{C}$, lo que equivale a un Voltio por metro $[V\cdot m]$.

Expresión general de flujo eléctrico a través de cualquier superficie

Dado que en una superficie irregular el flujo varía tanto en intensidad como en el vector que forma con la normal de la superficie, definimos:

$d\mathrm{\Phi }=\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=EdAcos\theta$

Si integramos:

$\mathrm{\Phi }=\underset{S}{\int }\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}$

Ahora consideremos el caso del flujo eléctrico ${\mathrm{\Phi }}_C$ de una superficie cerrada. Si utilizamos el símbolo $\oint$ para referirnos a la integral de una superficie cerrada, la expresión de flujo eléctrico que atraviesa esa superficie queda determinada por:

${\mathrm{\Phi }}_C={\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}={\oint }_S{E}_{n}d\overrightarrow{A}$

Siendo $E_n$ una componente normal ($\approx$ perpendicular) a la superficie cerrada.

Ley de Gauss

Si en una superficie cerrada sin carga el flujo total que la atraviesa es nulo, la ley de Gauss establece la relación que existe entre el flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie con una carga neta $Q_{int}$ en su interior.

Definición

${\mathrm{\Phi }}_C=\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{int}}{{ϵ}_0}$

Siendo $\overrightarrow{E}$ el campo eléctrico creado por $Q_{int}$ y el resto de los campos que atraviesan la superficie. Se puede utilizar en sentido inverso para calcular el campo eléctrico que crea una distribución cualquiera de cargas; aunque, por comodidad, sólo suele hacerse en casos elementales.

Demostración

Se parte de una esfera hueca de radio $r$ y espesor despreciable con una carga puntual $Q_{int}$ situada en su centro. Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie es:

$E=k\frac{q}{r^2}$

El flujo neto que atraviesa la esfera es el siguiente:

${\mathrm{\Phi }}_C=\oint E_{n}d\overrightarrow{A}=E\oint d\overrightarrow{A}=\frac{kq}{r^2}$

Si sustituimos la expresión de campo eléctrico y consideramos que la superficie de una esfera es $4\pi r^2$ obtenemos:

${\mathrm{\Phi }}_C=\frac{kq}{r^2}(4\pi r^2)=4\pi kq$

Y si consideramos el valor de la constante k $(k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$):

${\mathrm{\Phi }}_C=\frac{q}{{ϵ}_0}$

Aplicaciones

Según la geometría, podemos encontrar diferentes expresiones del campo eléctrico.

Carga puntual

El campo eléctrico de una carga puntual se define como $\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}\widehat{𝐫}$

Dos láminas infinitas

El campo eléctrico debido a dos láminas infinitas con cargas opuestas pero infinitas se define como:

$\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2=\{\begin{array}{cc}0,& \text{arriba de la placa superior}\\ \frac{\sigma }{{ϵ}_0}\widehat{𝐣},& \text{entre las placas}\\ 0,& \text{debajo de la placa inferior}\end{array}$

Anillo uniformemente cargado

El campo eléctrico de un anillo de carga neta   $Q$  se define como:

$\overrightarrow{E}=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_0}\frac{Qx}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}\widehat{𝐢}$

Disco uniformemente cargado

El campo eléctrico de un disco de densidad superficial $\sigma$ de carga positiva y uniforme se define como:

$\overrightarrow{E}=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}[1-\frac{1}{\sqrt{(R^2/x^2)+1}}]\widehat{𝐢}$

Esfera uniformemente cargada

Para una esfera de radio R con una carga Q distribuida, calculamos el campo eléctrico en cualquier punto exterior situado a una distancia r del centro: siendo r > R.

${\mathrm{\Phi }}_C=\frac{Q}{{ϵ}_0}=EA⟺E=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}=k\frac{Q}{r^2}$

Es decir, equivale al campo eléctrico que produce una carga puntual Q en el centro de la esfera.

Ahora calcularemos el campo eléctrico en cualquier punto interior situado a una distancia r del centro: siendo r < R.

${\mathrm{\Phi }}_C=\frac{Q_{int}}{{ϵ}_0}=E4\pi r^2$ $Q_{int}=\rho \frac{4}{3}\pi r^3⟹\rho =\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}⟹Q_{int}=Q\frac{r^3}{R^3}$

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos:

$E=k\frac{Q}{R^3}r$

   En este caso, la expresión del campo en interior de la esfera es menor que en el exterior. Si aplicamos un cociente de radios $\frac{r}{R}$ a la expresión de campo obtenida para cualquier punto exterior a la esfera, llegamos a la misma conclusión.

Conductores en equilibrio electrostático

Si consideramos un conductor en equilibrio electrostático (las cargas negativas igualan a las positivas) sometido a un campo eléctrico, y aplicamos la ley de Gauss:

${\mathrm{\Phi }}_C=\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{int}}{{ϵ}_0}$

${\mathrm{\Phi }}_C=E\oint d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{int}}{{ϵ}_0}$

En la superficie ($S=\int d\overrightarrow{A}$) donde incide el campo $\overrightarrow{E}$:

$\sigma =\frac{Q}{S}={ϵ}_0(-E)$

En la superficie ($S=\int d\overrightarrow{A}$) donde sale el campo$\overrightarrow{E}$:

$\sigma =\frac{Q}{S}={ϵ}_0(E)$

Por lo que se concluye que las cargas positivas y negativas tienden a distribuirse en polos opuestos en este tipo de materiales.

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 2: Campo eléctrico