Modulaciones angulares

Introduccion y Conceptos

En las modulaciones angulares, como su propio nombre indica, es la fase ( o frecuencia) de la portadora la que es modulada, y no la amplitud, que es lo que ocurría en las anteriores lineales.

$c(t)=A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)$

Los tipos de modulaciones angulares son:

FM (Frequency Modulation) y PM (Phase Modulation)

Podemos representar ambas modulaciones como:

$\begin{array}{cc}& x_{\begin{array}{c}FM\\ PM\end{array}}(t)=A_c\cos \left({\theta }_i\left(t\right)\right)\\ & {\theta }_i\left(t\right)={\omega }_{c}t+{\phi }_i(t)\\ \end{array}$

${\theta }_i\left(t\right)$ : Fase instantánea total de la señal ${\phi }_i(t)$ : Fase instantánea de la señal

Como se relacionan la frecuencia y la fase de una señal? La frecuencia es la derivada de la fase

$\begin{array}{cc}& {\omega }_i\left(t\right)=\frac{\partial {\theta }_i\left(t\right)}{\partial t}\\ & f_i\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\frac{\partial {\theta }_i\left(t\right)}{\partial t}\to \\ & \{{\theta }_i\left(t\right)={\omega }_{c}t+{\phi }_i(t)\}\to f_i\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\frac{\partial \{{\omega }_{c}t+{\phi }_i(t)\}}{\partial t}=f_c+\frac{1}{2\pi }\frac{\partial {\phi }_i\left(t\right)}{\partial t}\\ \end{array}$

${\omega }_i\left(t\right)$ : Frecuencia instantánea de la señal (medida en rad/s) $f_i\left(t\right)$ : Frecuencia instantánea de la señal (medida en Hz)

Igualmente, podemos decir que la fase, es la integral de la frecuencia

$\begin{array}{cc}& {\omega }_i\left(t\right)=\frac{\partial {\theta }_i\left(t\right)}{\partial t}\iff {\theta }_i\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{\omega }_i\left(\lambda \right)\partial \lambda \\ & f_i\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\frac{\partial {\theta }_i\left(t\right)}{\partial t}\iff {\theta }_i\left(t\right)=2\pi \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{f}_i\left(\lambda \right)\partial \lambda \\ \end{array}$

Debido a que solo estamos modulando la fase, sin cambiar la amplitud de la señal, la potencia de cualquier modulación angular será:

$P_{\begin{array}{c}FM\\ PM\end{array}}=\frac{A_c^2}{2}$

Representación en el tiempo de modulación PM y FM

$\begin{array}{cc}& x(t)=A_c\cos \left({\theta }_i\left(t\right)\right)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i\left(t\right))\\ & \text{PM}\to {\phi }_i(t)={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t)\to \\ & x_{PM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t))\\ & \text{FM}\\ & f_i(t)=f_c+f_{\mathrm{\Delta }}x(t)\to \\ & f_i(t)=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{\partial {\theta }_i\left(t\right)}{\partial t}=f_c+\frac{1}{2\pi }\frac{\partial {\phi }_i\left(t\right)}{\partial t}\\ & f_{\mathrm{\Delta }}x(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{\partial {\phi }_i\left(t\right)}{\partial t}\to {\phi }_i\left(t\right)=2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda \to \\ & x_{FM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda )\\ \end{array}$

Características PM

Ejemplo con moduladora sinusoidal:

En este ultimo caso la relacion no es tan clara.

$\begin{array}{cc}& {\phi }_i(t)={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t)\to \\ & x_{PM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t))\\ & {\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{x}_{\min }\le {\phi }_i(t)\le {\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{x}_{\max }\\ & Ej:\\ & x(t)=A_m\cos \left({\omega }_{m}t\right)\\ & {\phi }_{i\max }(t)={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m\\ & |x(t)|\le 1\to {\phi }_{i\max }(t)={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}\\ & {\phi }_i(t)\le \pi \to {\varphi }_{\mathrm{\Delta }}\le \pi \\ \end{array}$

El motivo de esta restricción es debido a que el coseno ( o el seno) es periodica cada $2\pi$

Esto es debido a que: $\cos (\pi )=\cos (3\pi )=\cos (5\pi )=\cos (7\pi )$

Características FM

Ejemplo con moduladora sinusoidal:

$\begin{array}{cc}& f_i(t)=f_c+f_{\mathrm{\Delta }}x(t)\to \\ & {\phi }_i\left(t\right)=2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda \to \\ & x_{FM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda )\\ & f_d\le f_c\\ \end{array}$

La desviación de frecuencia tiene que ser menor que la frecuencia portadora para poder demodular correctamente la señal, a pesar de ello, no es una restricción especialmente limitadora.

Se define también la desviación máxima de frecuencia, esto es, la máxima frecuencia que puede alcanzar nuestra señal teniendo como referencia la frecuencia central de la portadora.

$\begin{array}{cc}& f_i(t)=f_c+f_{\mathrm{\Delta }}x(t)\\ & Ej:\\ & x(t)=A_m\cos \left({\omega }_{m}t\right)\\ & \mathrm{\Delta }{f}_{\max }=f_{\mathrm{\Delta }}{A}_m\\ \end{array}$

Propiedades

$\begin{array}{cc}& x_{PM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t))\\ & x_{FM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda )\\ & x(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i\left(t\right))\to \{\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\}\to \\ & A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i\left(t\right))=A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)\cos \left({\phi }_i\left(t\right)\right)-A_c\sin \left({\omega }_{c}t\right)\sin \left({\phi }_i\left(t\right)\right)\\ & x(t)=x_I(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-x_Q(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)=e(t)\cos ({\omega }_{c}t+\phi (t))\to \\ & x_I(t)=A_c\cos \left({\phi }_i\left(t\right)\right)=\{\begin{array}{cc}& \text{PM}\to A_c\cos ({\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t))\\ & \text{FM}\to A_c\cos \left(2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda \right)\\ \end{array}\\ & x_Q(t)=A_c\sin \left({\phi }_i\left(t\right)\right)=\{\begin{array}{cc}& \text{PM}\to A_c\sin ({\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t))\\ & \text{FM}\to A_c\sin \left(2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda \right)\\ \end{array}\\ & e(t)=A_c\\ \end{array}$

NarrowBand modulation

$\begin{array}{cc}& x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i\left(t\right))\\ & A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i\left(t\right))=A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)\cos \left({\phi }_i\left(t\right)\right)-A_c\sin \left({\omega }_{c}t\right)\sin \left({\phi }_i\left(t\right)\right)\\ \end{array}$

Ahora, si consideramos que la fase modulada es muy pequeña

$\begin{array}{cc}& {\phi }_i\left(t\right)\ll 1\to \{\begin{array}{cc}& PM\to {\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t)\ll 1\\ & FM\to 2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x(\lambda )\partial \lambda \ll 1\\ \end{array}\\ & \underset{x\to 0}{\lim }\sin x\approx x\\ & \underset{x\to 0}{\lim }\cos x\approx 1\\ & x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i\left(t\right))=A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)\underset{\approx 1}{\underbrace{\cos \left({\phi }_i\left(t\right)\right)}}-A_c\sin \left({\omega }_{c}t\right)\underset{\approx {\phi }_i\left(t\right)}{\underbrace{\sin \left({\phi }_i\left(t\right)\right)}}\to \\ & x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)\approx A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)-A_c\sin \left({\omega }_{c}t\right){\phi }_i\left(t\right)\\ & X_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(f)=A_c\left(\frac{\delta (f-f_c)+\delta (f+f_c)}{2}\right)-A_c\left(\frac{\phi (f-f_c)-\phi (f+f_c)}{2j}\right)\\ & \\ & PM\to {\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t)\underset{𝔽}{\overset{}{\to }}{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}X(f)\\ & FM\to 2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x(\lambda )\partial \lambda \underset{𝔽}{\overset{}{\to }}2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\frac{X(f)}{j2\pi f}=\frac{f_{\mathrm{\Delta }}X(f)}{j\cdot f}\\ & X_{PM}(f)=A_c\left(\frac{\delta (f-f_c)+\delta (f+f_c)}{2}\right)-\frac{A_c{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}}{2j}(X(f-f_c)-X(f+f_c))\\ & X_{FM}(f)=A_c\left(\frac{\delta (f-f_c)+\delta (f+f_c)}{2}\right)+\frac{A_c{f}_{\mathrm{\Delta }}}{2}(\frac{X(f-f_c)}{f-f_c}-\frac{X(f-f_c)}{f-f_c})\\ \end{array}$

Modulación de un tono

Apliquemos este caso para una moduladora senoidal.

$\begin{array}{cc}& x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)\approx A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)-A_c\sin \left({\omega }_{c}t\right){\phi }_i\left(t\right)\\ & \begin{array}{cc}& PM\to x(t)=A_m\sin ({\omega }_{m}t)\\ & FM\to x(t)=A_m\cos ({\omega }_{m}t)\\ \end{array}\}\to \{\begin{array}{cc}& PM\to {\phi }_i\left(t\right)={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m\sin ({\omega }_{m}t)\ll 1\to {\beta }_{PM}={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m\\ & FM\to {\phi }_i\left(t\right)=\frac{f_{\mathrm{\Delta }}}{f_m}{A}_m\sin ({\omega }_{m}t)\ll 1\to {\beta }_{FM}=\frac{f_{\mathrm{\Delta }}}{f_m}{A}_m\\ \end{array}\\ & x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)-A_c\sin \left({\omega }_{c}t\right){\beta }_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}\sin ({\omega }_{m}t)\to \\ & \{\sin a\sin b=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2}\}\\ & x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)-A_c\beta \left(\frac{\cos \left(({\omega }_c-{\omega }_m)t\right)-\cos \left(({\omega }_c+{\omega }_m)t\right)}{2}\right)=\\ & A_c\cos \left({\omega }_{c}t\right)-\frac{A_c\beta }{2}\cos \left(({\omega }_c-{\omega }_m)t\right)+\frac{A_c\beta }{2}\cos \left(({\omega }_c+{\omega }_m)t\right)\\ \end{array}$

Para el dibujo vectorial, lo mejor es usar la envolvente compleja:

${\tilde{x}}_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c+\frac{A_c\beta }{2}(e^{+j{\omega }_{m}t}-e^{-j{\omega }_{m}t})$

$X_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(f)=\frac{A_c}{2}\delta (f-f_c)-\frac{A_c\beta }{4}(\delta (f-(f_c-f_m))-\delta (f-(f_c+f_m)));f>0$

FullBand modulation (Modulación de un tono)

$\begin{array}{cc}& x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i\left(t\right))\\ & PM\to x(t)=A_m\sin \left({\omega }_{m}t\right)\\ & FM\to x(t)=A_m\cos \left({\omega }_{m}t\right)\\ & x_{PM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t))=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m\sin \left({\omega }_{m}t\right))\\ & x_{FM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(\lambda \right)\partial \lambda )\to \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{A}_m\cos \left({\omega }_{m}t\right)\partial t=\frac{A_m}{{\omega }_m}\sin \left({\omega }_{m}t\right)\\ & {\omega }_m=2\pi f_m\\ & x_{FM}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+2\pi f_{\mathrm{\Delta }}\frac{A_m}{2\pi f_m}\sin \left({\omega }_{m}t\right))=A_c\cos ({\omega }_{c}t+\frac{A_m{f}_{\mathrm{\Delta }}}{f_m}\sin \left({\omega }_{m}t\right))\\ \end{array}$

Ahora, llamemos $\beta$ a los datos constantes en la fase

$\begin{array}{cc}& {\beta }_{PM}={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m\\ & {\beta }_{FM}=\frac{A_m{f}_{\mathrm{\Delta }}}{f_m}\\ & s(t)=x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\beta }_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}\sin \left({\omega }_{m}t\right))\\ \end{array}$

Ahora, queremos encontrar la representación en frecuencia de esta modulación angular, para ello nos será útil encontrar primero su envolvente compleja:

$\begin{array}{cc}& s^{+}(t)=A_c{e}^{j({\omega }_{c}t+\beta \sin \left({\omega }_{m}t\right))}\\ & \tilde{s}(t)=A_c{e}^{j\beta \sin \left({\omega }_{m}t\right)}\\ \end{array}$

Esta señal es periódica, por lo que, por definición, toda señal periódica puede representarse como una serie de senos/cosenos, esto es, una serie de Fourier Pares clasicos de la transformada de Fourier

$\begin{array}{cc}& f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_k\cdot e^{j\frac{2\pi }{T}kt}\to \tilde{s}(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_k\cdot e^{j{\omega }_{m}kt}\\ & C_k=\frac{1}{T}\underset{{}^{-T}╱{}_2}{\overset{{}^T╱{}_2}{\int }}f(t)\cdot e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}\partial t\to C_k=\frac{1}{T_m}\underset{{}^{-T_m}╱{}_2}{\overset{{}^{T_m}╱{}_2}{\int }}\tilde{s}(t)e^{-j{\omega }_{m}kt}\partial t=?\\ \end{array}$

Para sacar los coeficientes, tenemos una integral irresoluble, pero afortunadamente, este tipo de integral esta tabulada y estudiada, por lo que sabemos que:

$\begin{array}{cc}& \tilde{s}(t)=A_c{e}^{j\beta \sin \left({\omega }_{m}t\right)}\\ & C_k=\frac{1}{T_m}\underset{{}^{-T_m}╱{}_2}{\overset{{}^{T_m}╱{}_2}{\int }}\tilde{s}(t)e^{-j{\omega }_{m}kt}\partial t\\ & J_n(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{j(x\sin \lambda -n\lambda )}\partial \lambda =\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{jx\sin \lambda }{e}^{-jn\lambda }\partial \lambda \\ & \left\{\begin{array}{cc}& \lambda ={\omega }_{m}t\leftrightarrow t=\lambda /{\omega }_m=\frac{\lambda T_m}{2\pi }\\ & \partial \lambda ={\omega }_m\partial t\leftrightarrow \partial t=\frac{T_m}{2\pi }\partial \lambda \\ \end{array}\right\}\\ & t={}^{T_m}╱{}_2=\frac{\lambda T_m}{2\pi }\to \lambda =\pi \\ & t=-{}^{T_m}╱{}_2\to \lambda =-\pi \\ & C_k=\frac{1}{T_m}\underset{t={}^{-T_m}╱{}_2}{\overset{t={}^{T_m}╱{}_2}{\int }}{A}_c{e}^{j\beta \sin \left({\omega }_{m}t\right)}{e}^{-j{\omega }_{m}kt}\partial t=A_c\frac{1}{T_m}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{j\beta \sin \lambda }{e}^{-jk\lambda }\frac{T_m}{2\pi }\partial \lambda =A_c\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{j\beta \sin \lambda }{e}^{-jk\lambda }\partial \lambda \to \\ & C_k=A_c{J}_k\left(\beta \right)\\ \end{array}$

Propiedades de funciones de Bessel

1º Propiedad

$\begin{array}{cc}& J_n\left(x\right)={(-1)}^n{J}_{-n}\left(x\right)\\ & n\text{ par }\to J_n\left(x\right)=J_{-n}\left(x\right)\\ & n\text{ impar }\to J_n\left(x\right)=-J_{-n}\left(x\right)\\ \end{array}$

2º Propiedad

$\begin{array}{cc}& J_0\left(0\right)=1\\ & J_n\left(0\right)=0,n\ne 0,1,-1\\ & J_1\left(\beta \right)\simeq {}^{\beta }╱{}_2\\ & J_{-1}\left(\beta \right)\simeq {}^{-\beta }╱{}_2\\ \end{array}$

3º Propiedad

En algunos puntos vale cero

4º Propiedad

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_n^2\left(x\right)=1$

En ciertos valores la funcion de bessel vale 0, por lo que no transmitimos potencia en esos casos.

Por lo que, ahora tenemos:

$\begin{array}{cc}& \tilde{s}(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_k\cdot e^{j{\omega }_{m}kt}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{A}_c{J}_k\left(\beta \right)\cdot e^{j{\omega }_{m}kt}\\ & s^{+}(t)=\tilde{s}(t)e^{j{\omega }_{c}t}=A_c\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k\left(\beta \right)\cdot e^{j({\omega }_{c}t+{\omega }_{m}kt)}\\ & x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=s(t)=\mathrm{\Re }\{s^{+}(t)\}=\mathrm{\Re }\left\{A_c\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k\left(\beta \right)\cdot e^{j({\omega }_{c}t+{\omega }_{m}kt)}\right\}\\ & x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=s(t)=A_c\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k\left(\beta \right)\cos ({\omega }_{c}t+k{\omega }_{m}t)\\ \end{array}$

Ahora si podemos sacar la representación en frecuencia de una señal con modulación angular.

$\begin{array}{cc}& x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=s(t)=A_c\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k\left(\beta \right)\cos (({\omega }_c+k{\omega }_m)t)=\\ & A_c[J_0\left(\beta \right)\cos \left({\omega }_{c}t\right)+J_1\left(\beta \right)\cos (({\omega }_c+{\omega }_m)t)+J_{-1}\left(\beta \right)\cos (({\omega }_c-{\omega }_m)t)+J_2\left(\beta \right)\cos (({\omega }_c+2{\omega }_m)t)]+...\\ & X_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(f)=\frac{A_c}{2}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k\left(\beta \right)[\delta (f-(f_c+k{f}_m))+\delta (f+(f_c+k{f}_m))]\\ \end{array}$

Representacion frecuencial de la envolvente compleja de PM/FM (centrada en el origen)

Ancho de banda segun Carson

Viendo ahora la representación en frecuencia, podemos preguntarnos, cuanto es el ancho de banda necesario para una señal PM/FM? Para una señal AM o DSB ${\beta }_T=2W$ , en SSB era ${\beta }_T=W$ ... Cuanto es ahora? Bien, realmente su ancho de banda es infinito ${\beta }_T=\mathrm{\infty }$ . Pero una persona se dedico a estudiar estas señales y determinó el ancho de banda donde esta contenido el %98 de la potencia. Debido a que contiene casi toda la potencia de la señal, se da por valido ese ancho de banda, que se llama ancho de banda de Carson en honor al hombre que la definió.

$\begin{array}{cc}& x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\phi }_i(t))\\ & PM\to {\phi }_i(t)={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}x(t)\\ & FM\to f_i(t)=f_c+f_{\mathrm{\Delta }}x(t)\\ & s(t)=x_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t+{\beta }_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}\sin \left({\omega }_{m}t\right))\\ & {\beta }_{PM}={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m\\ & {\beta }_{FM}=\frac{A_m{f}_{\mathrm{\Delta }}}{f_m}\\ & {\beta }_{T_{carson}}=2({\beta }_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}+1)W;\\ & W=f_m\\ & {\beta }_{T_{PM}}=2({\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m+1)f_m=2{\varphi }_{\mathrm{\Delta }}{A}_m{f}_m+2f_m\\ & {\beta }_{T_{FM}}=2(\frac{A_m{f}_{\mathrm{\Delta }}}{f_m}+1)f_m=2A_m{f}_{\mathrm{\Delta }}+2f_m=2(A_m{f}_{\mathrm{\Delta }}+f_m)\\ \end{array}$

DIBUJO

Relación señal a ruido de una señal PM/FM, detección por envolvente

A relación señal a ruido en recepción será, como en todos los casos:

${\left({}^S╱{}_N\right)}_R=\frac{S_R}{N_R}=\frac{S_R}{\eta {\beta }_T}=\frac{{}^{A_R^2}╱{}_2}{\eta 2({\beta }_{\begin{array}{c}PM\\ FM\end{array}}+1)W}$

Para detección, la demostración se detalla en un vinculo aparte dada su complejidad. La relación señal a ruido en detección de las señales con modulación angular serán respectivamente: Demostracion de SNR en deteccion para PM y FM

$\begin{array}{cc}& {\left({}^S╱{}_N\right)}_D^{PM}={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}^2{S}_x\gamma ={\varphi }_{\mathrm{\Delta }}^2{S}_x\frac{S_R}{\eta W}\\ & {\left({}^S╱{}_N\right)}_D^{FM}=3{\left(\frac{f_{\mathrm{\Delta }}}{W}\right)}^2{S}_x\gamma =3{\left(\frac{f_{\mathrm{\Delta }}}{W}\right)}^2{S}_x\frac{S_R}{\eta W}\to \{D=\frac{f_{\mathrm{\Delta }}}{W}\}\to 3D^2{S}_x\gamma \\ \end{array}$