Mecánica Hamiltoniana

La mecánica de Hamilton , creada por el físico irlandés William R. Hamilton

Explicación

Al realizar esta transformación, la ecuación de movimiento de Lagrange:

$\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=0$

inmediatamente se convierte en $\dot{p}=-\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)$

Además tenemos, considerando $p$ y $\dot{q}$ como una variables independientes, y luego la definición del hamiltoniano será: $\frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}$.

Al final, con la transformación usando el impulso generalizado , la ecuación del movimiento de Lagrange es equivalente a las dos ecuaciones llamadas de Hamilton :

$\dot{q}=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)$, y $\dot{p}=-\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)$.

Por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton constituyen un sistema de ecuaciones de primer orden, estrictamente equivalentes a la ecuación de Lagrange y, por lo tanto, al principio de menor acción. Además, las nuevas "coordenadas" $q$ y $p$ juegan un papel simétrico, lo que no era el caso de las coordenadas y velocidades generalizadas $q$ y $\dot{q}$ del formalismo de Lagrange.

Decimos que $q$ y $p$ son conjugados entre sí, porque la derivada temporal de uno se obtiene por derivación parcial del otro de las $H(q,p,t)$ de Hamilton.

Finalmente, es posible llevar a cabo el cambio de las variables conjugadas $Q=-p$ y $P=q$ que son, por lo tanto, ecuaciones idénticas a las de Hamilton. En consecuencia, es posible intercambiar los roles entre coordenadas e impulso generalizado en el formalismo hamiltoniano, mientras que esto no es posible con la velocidad generalizada en el marco lagrangiano.