Ver el código de «Función cuadrática»

De vital importancia en matemáticas y física es la función cuadrática o de segundo grado.

Una '''función polinómica de grado dos''' o función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en '''x''' de segundo grado, según la forma:
[[Archivo:Parábolas verticales.svg|miniaturadeimagen|Gráficas de funciones cuadráticas.]]
: <math> f(x) = ax^2 + bx + c \, </math>

donde '''a''', '''b''' y '''c''' son constantes y '''a''' es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano '''XY''' haciendo:
: <math> y = f(x) \, </math>

esto es:
: <math> y = ax^2 + bx + c \, </math>

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de '''a'''.

== Estudio de la función ==

==== Corte con el eje y ====
[[Archivo:Función cuadrática 11.svg |derecha|300px]]

La función corta el '''eje y''' en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje '''y''' cuando '''x''' vale cero (0):
: <math> y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \, </math>

lo que resulta:
: <math> y = f(0) = c \, </math>

la función corta el '''eje y''' en el punto (0, c), siendo '''c''' el término independiente de la función.

==== Corte con el eje x ====

La función corta al '''eje x''' cuando '''y''' vale 0:
: <math> ax^2 + bx + c = 0 \, </math>

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el '''eje x''', que se obtienen como es sabido por la expresión:
: <math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>

donde:
: <math> b^2 - 4 a c \,</math>

se le llama '''discriminante''', '''Δ''':
: <math> \Delta = b^2 - 4 a c \, </math>

según el signo del discriminante podemos distinguir:

* Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al '''eje x''' en dos puntos: <math>x_1</math> y <math>x_2</math>.

* Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en <math>x_1</math>, la parábola solo tiene un punto en común con el '''eje x''', el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

* Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al '''eje x'''.

=== Forma factorizada ===

Todo función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:
: <math> f(x) = ax^2 + bx + c \, </math>
se puede factorizar como:
: <math> f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \, </math>
siendo '''a''' el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de <math>x^2</math> sería siempre 1.
<math>x_1</math> y <math>x_2</math> representan las raíces de <math>f(x)</math>. En el caso de que el '''Discriminante Δ''' sea igual a 0 entonces <math>x_1 = x_2</math> por lo que podríamos escribir:
: <math> f(x) = a(x - x_1)^2 \, </math>
En este caso a <math>x_1</math> se la denomina '''raíz doble''', ya que su orden de multiplicidad es 2.

=== Forma canónica ===

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:
: <math> f(x) = a (x - h)^2 + k \, </math>
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo '''a''' el coeficiente principal y el par ordenado '''(h;k)''' las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:
* Dado:
: <math> f(x) = ax^2 + bx + c \, </math>

* Se extrae '''a''' como factor común en el término cuadrático y en el lineal.
: <math> f(x) = a  \left ( x^2 + \frac{b}{a} x \right ) + c \, </math>

* Se completa el [[trinomio cuadrado perfecto]], sumando y restando para no alterar la igualdad.
: <math>f(x) = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4 a^2} \right ) + c - \frac{b^2}{4 a}</math>

* Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.
: <math>f(x) = a \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 + c - \frac{b^2}{4a}</math>

* sustituyendo:
: <math>h = \frac{-b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}</math>

* la expresión queda:
: <math> f(x) = a (x - h)^2 + k \, </math>

=== Extremos relativos ===
Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:
: <math> y = ax^2 + bx + c \, </math>

calculamos su derivada respecto a '''x''':
: <math> \frac{dy}{dx} = 2ax + b </math>

que si la igualamos a cero, tenemos:
: <math> 2ax + b = 0 \, </math>

donde '''x''' valdrá:
: <math> x = \frac{-b}{2a} </math>

En la vertical que pasa por este valor de '''x''' se encontrar el valor máximo, mínimo o relativo de la función.

== Determinar la ecuación conocidos tres puntos ==
[[Archivo:Función cuadrática 03.svg|derecha|300px]]

Partiendo de la forma de la ecuación:
: <math>y = ax^2 +bx +c \,</math>

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

: <math> (x_1,y_1), \; (x_2,y_2), \; (x_3,y_3) </math>

se cumplira que:
: <math>
   \left \{
      \begin{matrix} 
         y_1 = ax_{1}^2 +bx_1 +c \\
         y_2 = ax_{2}^2 +bx_2 +c \\
         y_3 = ax_{3}^2 +bx_3 +c
      \end{matrix} 
   \right .
</math>

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:
: <math>
   \left \{
      \begin{matrix} 
         ax_{1}^2 +bx_1 +c = y_1 \\
         ax_{2}^2 +bx_2 +c = y_2 \\
         ax_{3}^2 +bx_3 +c = y_3
      \end{matrix} 
   \right .
</math>

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:
{|
| <math>
   a =
   \cfrac{
      \left |
         \begin{matrix} 
            y_1 & x_1 & 1 \\
            y_2 & x_2 & 1 \\
            y_3 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }{
    \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }
</math>

| <math>
   , \quad
   b =
   \cfrac{
      \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & y_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & y_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & y_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }{
    \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }
</math>

| <math>
   , \quad 
   c =
   \cfrac{
      \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & y_1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & y_2 \\
            x_{3}^2 & x_3 & y_3
         \end{matrix} 
      \right |
   }{
    \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }
</math>
|}
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