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Bienvenido a lo que podríamos denominar '''Departamento de Estadística y Probabilidad'''. Esta página no pretende ser en sí un departamento propiamente dicho, sino un lugar al que acceder para reunir a los interesados en Estadística y Probabilidad propiamente dicha, más allá de colaborar en el Departamento de Matemática y de los estudios en Matemática.

== Material ==

Todo lo que necesitas para aprender, comprender y amar la Estadística y la Probabilidad: libros impresos, libros electrónicos, wikilibros, páginas web, videos, artículos... [[Material: Estadística y Probabilidad]].La probabilidad es como un auto.la estadística viene de estatizar.

* [http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/rociomar/coleccion-descriptiva.pdf Problemas de estadística descriptiva]UAM
* [http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html#tema2 Bioestadística]HURC
* [[Estadística matemática]]
* [[Esperanza F Snedecor]]
* [[Como usar R]]
* [https://docs.google.com/open?id=0B2yMmoCkZTgVaHBmeUVZUzhQOEk]
* [https://docs.google.com/open?id=0B2yMmoCkZTgVRlRQM2R6eVk0Vlk%20Clase%20II https://docs.google.com/open?id=0B2yMmoCkZTgVRlRQM2R6eVk0Vlk Clase II]

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== Problemas de Probabilidad. ==


* 1. Sean A y B dos sucesos independientes. Demostrar que A y B son también independientes. Demostrar que <math>A^C</math> y <math>B^C</math> son también independientes.


* 2. Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A/B) = 0,1. Hallar la Probabilidad de A[B.

'''Solución'''

Se trata de un problema de probabilidad condicionada: P(A[B) = P(A) si ha sucedido B

Aplico la fórmula de la probabilidad condicionada para lo que debo conocer P(AyB), que se representa por P(A/B); y debo conocer también P(B):

P(A[B) = P(A/B): P(B) = 0,1 : 0,5 = 0,2


* 3. Se extraen al azar cartas de una baraja española de 40 cartas con reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que:

** a) La primera carta sea de oros.
** b) La segunda carta sea de oros si la primera fue de oros.
** c) La segunda carta sea de oros si la primera no fue de oros.
** d) La segunda carta sea de oros.
** e) Las dos primeras cartas sean de oros.
** f) Ninguna de las dos primeras cartas sean de oros.
** g) Al menos una de las dos primeras cartas sea de oros.
** h) La tercera carta sea de oros sabiendo que las dos primeras cartas fueron de oros.
** i) La tercera carta sea de oros.
** j) Las tres primeras cartas sean de oros.
** k) Ninguna de las tres primeras cartas sean de oros.
** l) Al menos una de las tres primeras cartas sea de oros

'''Soluciones:'''
** 3.a) La baraja consta de 40 cartas, de ellas 10 son oros.
*** Como P = sucesos posibles/sucesos totales
*** P = 10/40 = 1/4 = 0,25
** 3.b,c,d) Como existe reemplazamiento, la situación es la misma que la anterior.
*** P = 10/40 = 1/4 = 0,25
** 3.e)
*** P = 10/40 * 10/40 = 100/1600 = 1/16
** 3.f)
*** P = 30/40 * 30/40 = 900/1600 = 9/16

* 4. Repetir el problema anterior considerando extracciones sin reemplazamiento.
'''Soluciones:'''
** 4.a) La baraja consta de 40 cartas, de ellas 10 son oros.
*** Como P = sucesos posibles/sucesos totales
*** P = 10/40 = 1/4 = 0,25
** 4.b)Como no hay reeemplazamiento, habrá 9 cartas de oros y 39 cartas en total:
*** P = 9/39 = 0,231
** 4.c)Si la primera no fue de oros, habrá 10 cartas de oros y 39 cartas en total:
*** P = 10/39 = 0,256

* 5. Se extraen dos cartas de una baraja. Hallar la probabilidad de que la segunda sea de oros sabiendo que la primera ha sido un Rey. Realizar el problema considerando extracciones con y sin reemplazamiento.


* 6. En una empresa, el 60% de los empleados coge las vacaciones en agosto, el 30% en julio y el resto en otros meses. De los que cogen las vacaciones en agosto, el 90% va a la playa, de los que cogen las vacaciones en julio, el 70% va a la playa, mientras que de los que cogen las vacaciones en otros meses, solo el 20% va a la playa. Se pide:

** a) Hallar la probabilidad de que un individuo vaya a la playa.
** b) Hallar la probabilidad de que un individuo coja las vacaciones en julio y vaya a la playa.
** c) Hallar la probabilidad de que un individuo que coja las vacaciones en julio vaya a la playa.
** d) Hallar la probabilidad de que un individuo que fue a la playa cogiera las vacaciones en julio.


* 7. Una enfermedad afecta a uno de cada 10000 individuos. Un laboratorio afirma que tiene una prueba para detectar la enfermedad que acierta en el 95% de los casos. Preguntados por lo que querían decir con esa afirmación indicaron que al pasar la prueba a pacientes enfermos, en el 95% de los casos dio positiva y al pasarla a pacientes sanos, en el 95% de los casos dio negativa. Un individuo se realiza la prueba y da positivo. Hallar la probabilidad de que esté realmente enfermo.

'''Solución'''

Debo hallar la probabilidad condicionada de que un sujeto esté enfermo si ha dado positivo:

Llamando E al sujeto enfermo y E' al sujeto sano; llamando L a la prueba positiva y L' a la prueba negativa, debo hallar P(E[L)= P(E/L):P(L)

Hay que considerar que:

La probabilidad de estar enfermo P(E)= 0,0001 y la de no estarlo es P(E')= 0,9999

La probabilidad de que la prueba sea positiva si está enfermo es P(L[E)= 0,95

La probabilidad de que la prueba sea positiva si se está sano es P(L[E')= 0,05

Entonces la probabilidad de que un individuo dé positivo (L) es:

P(L)= P(E)*P(L[E) + P(E')*P(L[E´)= 0,0001*0,95 + 0,9999*0,05 = 0,05009

También sé que P(L[E)= P(E/L):P(E) y por lo tanto P(E/L)= P(E)*P(L[E)= 0,0001*0,95= 0,000095

Por lo tanto P(E[L)= P(E/L):P(L)= 0,000095:0,05009= 0,001896 (aprox. 2 por mil)


* 8. Se tienen tres cofres conteniendo monedas. En el primer cofre hay dos monedas de oro, en el segundo hay una moneda de oro y otra de plata y en el tercero hay dos monedas de plata. Se elige un cofre al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro. Hallar la probabilidad de que la segunda moneda extraída de ese cofre sea de plata.


* 9. En un concurso de televisión el concursante ha llegado a la prueba final, y tiene que elegir entre tres cajas. En una de ellas hay un coche y en las otras dos hay una zanahoria. El concursante elige una caja. A continuación el presentador abre una de las otras dos, y en su interior hay una zanahoria. Tras la publicidad, el presentador da a elegir al concursante entre quedarse con su caja o cambiar a la otra. ¿Qué debe hacer el concursante? El problema debe realizarse en los dos supuestos siguientes:

** a) El presentador no sabe dónde está el coche.
** b) El presentador si sabe dónde está el coche, y no va a abrir la caja que lo contenga hasta el final del programa.


* 10. Se tienen tres bolsas con bolas de colores. La primera tiene dos bolas blancas y una roja, la segunda dos blancas y dos rojas y la tercera dos blancas y tres rojas. Se elige una bolsa al azar y se extrae una bola:

** a) Hallar la probabilidad de que sea blanca.
** b) Si la bola extraída ha sido blanca, hallar la probabilidad de que se haya elegido la primera bolsa.
** c) Si la bola extraída ha sido blanca, hallar la probabilidad de que la segunda bola sacada de esa bolsa sea también blanca.


* 11. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. Hallar la media y la varianza de dicha variable aleatoria.

'''Solución:'''

media= 1+2+3+4+5+6/6= 21/6= 3,5

varianza= (1-3,5)<sup>2</sup> + (2-3,5)<sup>2</sup> + (3-3,5)<sup>2</sup> + (4-3,5)<sup>2</sup> + (5-3,5)<sup>2</sup> + (6-3,5)<sup>2</sup>/6= 2,916


* 12. Hallar la probabilidad de que haya que lanzar un dado 10 veces antes de que aparezca el primer 5.


* 13. Se eligen dos números al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que la suma sea menor que un 1/2. Hallar la probabilidad de que la suma sea igual a 1/2.


* 14. Se eligen dos números al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que el producto sea menor que un 1/2. Hallar la probabilidad de que el producto sea igual a 1/2.


* 15. Dos amigos se citan en un lugar entre las 8 y las 9 con la siguiente condición: cada uno de ellos llegará y si no está el otro lo esperará 15 minutos. Hallar la probabilidad de que se encuentren.


* 16. Se eligen dos números al azar r y s, en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que la ecuación x2 + rx + s tenga las dos raíces reales. Hallar la probabilidad de que las dos raíces coincidan.


* 17. Se eligen un número al azar en el intervalo (0, 1) y se le suma el resultado de lanzar un dado. Se pide:

** a) Hallar la probabilidad de que dicha suma sea menor que 3,4.
** b) Si la suma es menor que 3,4, hallar la probabilidad de que en el dado se hubiera obtenido un 3.


* 18. Se lanza una moneda 6 veces. Hallar la probabilidad de obtener 3 caras.


* 19. Se extraen 8 cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de que no haya ninguna carta de copas. Hallar la probabilidad de que haya dos cartas de copas.


* 20. En una reunión hay 25 personas. Hallar la probabilidad de que no coincida el cumpleaños de ninguna de ellas. Repetir el problema para n personas. Determinar el valor de n a partir del cual la probabilidad de que haya coincidencia sea mayor de 1/2.


* 21. Se elige un número al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de su cuadrado sea menor que 1/4.

== Investigación ==

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